Математика (проф. ур.) (Вариант 5)
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и CQ.
а) Докажите, что угол PAC равен углу PQC.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что PQ = 8 и ∠ABC = 60°.
Ответ
/Tablitsy%20s%20formulami/Planimetriya.jpg)
а) Углы APC и AQC — прямые, значит, точки A, Q, P и C лежат на одной окружности с диаметром AC, и, следовательно, равны и вписанные углы PAC и PQC этой окружности, опирающиеся на дугу PC, что и требовалось доказать.
б) Прямоугольные треугольники ABP и CBQ имеют общий угол ABC, следовательно, они подобны, откуда 
или 
но тогда и треугольники BAC и BPQ также подобны, причем коэффициент подобия равен 
откуда 
Тогда радиус R окружности, описанной около треугольника ABC равен 
/profil/-16/16.svg)
Ответ: 