Математика (проф. ур.) (Вариант 7)
На доске написано 30 натуральных чисел. Какие-то из них красные, а какие-то зелёные. Красные числа кратны 7, а зелёные числа кратны 5. Все красные числа отличаются друг от друга, как и все зелёные. Но между красными и зелёными могут быть одинаковые.
а) Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше 2325, если на доске написаны только кратные 5 числа?
б) Может ли сумма чисел быть 1467, если только одно число красное?
в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1467.
Ответ
а) Посмотрим на сумму нескольких зелёных чисел. Так как сумма будет минимальной тогда, когда числа минимальны, они должны составлять арифметическую прогрессию, с первым членом 
и разностью 
(то есть ряд 5, 10, 15 ... ). В случае, если на доске записано 30 зеленых чисел их сумма равна:
Теперь заменим зеленое число 40 на красное число 35. Сумма 29 оставшихся зелёных чисел и красного числа 35 будет равна
При этом на доске написаны только кратные 5 числа.
б) Как было показано в в пункте а) минимально возможная сумма 30 зеленых чисел — 2325. Чтобы получить минимально возможную сумму 29 зелёных чисел, вычтем из суммы 30 чисел самое большое из написанных — 150: 
Теперь, чтобы получить минимально возможную сумму 29 зелёных и 1 красного чисел, прибавим наименьшее красное число, то есть 7: 
Минимально возможная сумма 29 зелёных и 1 красного чисел больше 1467, тогда любая сумма 29 зелёных и 1 красного чисел больше 1467. Значит, если на доске написано только одно красное число, сумма чисел не может быть равна 1467.
в) Пусть n - число красных чисел, тогда число зелёных составит (30-n). Как было показано выше, при одном, самом маленьком, красном числе сумма всех чисел больше, чем 1467. Это означает, что нам необходимо заменять зеленые числа на красные, причем, поскольку нам надо, чтобы красных чисел было минимальное число, то необходимо заменить минимальное возможное количество зеленых чисел, то есть наибольшие зеленые числа заменять на наименьшие красные. Тогда суммы красных 
и зелёных 
чисел, аналогично с предыдущими пунктами будут суммами арифметических прогрессий:
Сумма всех чисел 
должна быть по крайней мере меньше или равна 1467, тогда:
Значит, необходимо заменить не менее 10 зеленых чисел. В ряду из 30 зелёных чисел заменим зеленые числа на красные: 150 на 7, 145 на 14, 140, на 21, 135 на 28, 130 на 35, 125 на 42, 120 на 49, 115 на 56, 110 на 63. Таким образом, сумма чисел, записанных на доске, составит:
Заменим теперь 80 на 77:
Таким образом, получается, что наименьшее количество красных чисел при сумме всех чисел 1467 равно 10.
Ответ:а) Да; б) Нет; в) 10.