Цена чайника после повышения стала составлять 116% от начальной цены. Разделим 3480 на 1,16:

Значит, цена чайника до повышения составляла 3000 рублей.

Ответ: 3000.

Из диаграммы видно, что наименьшая среднемесячная температура во второй половине года составляла −2 °C (см. рисунок).

ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в квад­рат, равен по­ло­ви­не его сто­ро­ны.

Ответ: 2.

Найдем вероятность того, что перегорят обе лампы. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: 0,3·0,3 = 0,09.

Событие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна лампа, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,09 = 0,91.

Ответ: 0,91.

Возведем в квадрат:

Меньший корень равен −9.

Ответ: −9.

впи­сан­ный угол до­пол­ня­ет по­ло­ви­ну цен­траль­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на ту же хорду, до 180°. Тре­уголь­ник AOB яв­ля­ет­ся рав­но­сто­рон­ним, т. к. AO = OB = AB = R, по­это­му угол AOB = 60°. Тогда

Ответ: 150.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (1; 2), B (1; −4), C(−2; −4). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ACB:

Ответ: 2.

Площадь поверхности получившегося многогранника равна сумме площадей поверхностей куба с ребром 1 и четырех граней параллелепипеда с ребрами 1, 0,5,  0,5, уменьшенной на две площади основания вырезанной призмы:

Ответ: 7,5.

Выполним преобразования:

Ответ: 6.

Определим моменты времени, когда мяч находился на высоте ровно три метра. Для этого решим уравнение :

Проанализируем полученный результат: поскольку по условию задачи мяч брошен снизу вверх, это означает, что в момент времени  (с) мяч находился на высоте 3 метра, двигаясь снизу вверх, а в момент времени  (с) мяч находился на этой высоте, двигаясь сверху вниз. Поэтому он находился на высоте не менее трёх метров 1,4 − 0,2 = 1,2 секунды.

Ответ: 1,2.

Пусть масса 30-процентного раствора кислоты –  кг, а масса 60-процентного –  Если смешать 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавить  кг чистой воды, получится 36-процентный раствор кислоты:  Если бы вместо 10 кг воды добавили  кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты:  Решим полученную систему уравнений:

Ответ: 60.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной на заданном отрезке:

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке  заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:

Ответ: −6.

Уравнение равносильно системе:

Уравнение  решений не имеет. Учитывая, что  получаем: 

Ответ: 

а) Осе­вым се­че­ни­ем яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник  бо­ко­вые сто­ро­ны ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся об­ра­зу­ю­щи­ми ко­ну­са, а ос­но­ва­ни­ем — его диа­метр, и впи­сан­ная в тре­уголь­ник окруж­ность, ра­ди­ус ко­то­рой равен ра­ди­у­су шара (см. рис.).

б) Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пусть  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти, от­ре­зок  — бис­сек­три­са угла  и пусть  имеем:

Тогда  Для пло­ща­дей по­верх­но­стей ко­ну­са и шара имеем:  Тем самым, ис­ко­мое от­но­ше­ние равно  или 8:3.

Ответ: 8:3.

Решим неравенство:

Ответ: (−4; −3) ∪ (−1; 3).

а) По теореме Менелая  и  Поскольку  находим: 

б) По теореме Менелая  Также имеем  Заметим, что треугольники AB₁B и BCB₁ имеют общую высоту, следовательно:  Поэтому  Аналогично доказываем, что 

Треугольники AOC и AC₁O имеют общую высоту, поэтому  Аналогично доказываем, что  Тогда 

Ответ: 

Скорость сближения Алексея и Жучки (разность скоростей) Δv = 9 км/ч. Первоначальная разность расстояний между хозяином и собакой составляет ΔS = 6 км. Найдем разностное отношение  часа. Это и есть время, которое потребовалось Жучке, чтобы догнать Алексея.

С того времени, как Жучка бежала за хозяином, Алексей прошел расстояние, равное  км. В соответствии с условием задачи Алексей прошел еще 6 км пока Жучка была дома. Значит, в направлении от дома Алексей, будучи на прогулке, прошел  км. Такой же путь Алексей прошел после того, как Жучка догнала его, но в обратном направлении. На преодоление этого пути (со скоростью 4 км/ч) потребовалось  часа. Итак, вся прогулка Алексея продлилась

Эта сумма будет наименьшей, когда сумма двух взаимно обратных положительных выражений  и  примет наименьшее значение. И эта наименьшая сумма заведомо известна, она равна 2 (классическое неравенство  — наименьшее значение достигается при a = 1). Следовательно, в нашем случае должно выполняться равенство  то есть v = 6 км/ч. Время всей прогулки Алексея составляет  часа.

Ответ: 6 км/ч,  часа.

Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

Рас­смот­рим функ­цию  Она мо­но­тон­но воз­рас­та­ет как сумма двух воз­рас­та­ю­щих функ­ций. По­это­му урав­не­ние  рав­но­силь­но урав­не­нию  Оно имеет более од­но­го корня в тех слу­ча­ях, когда дис­кри­ми­нант урав­не­ния  по­ло­жи­те­лен. То есть когда 

Ответ: 

а) Посмотрим на сумму нескольких зелёных чисел. Так как сумма будет минимальной тогда, когда числа минимальны, они должны составлять арифметическую прогрессию, с первым членом  и разностью  (то есть ряд 5, 10, 15 ... ). В случае, если на доске записано 30 зеленых чисел их сумма равна:

Теперь заменим зеленое число 40 на красное число 35. Сумма 29 оставшихся зелёных чисел и красного числа 35 будет равна

При этом на доске написаны только кратные 5 числа.

б) Как было показано в в пункте а) минимально возможная сумма 30 зеленых чисел — 2325. Чтобы получить минимально возможную сумму 29 зелёных чисел, вычтем из суммы 30 чисел самое большое из написанных — 150: 

Теперь, чтобы получить минимально возможную сумму 29 зелёных и 1 красного чисел, прибавим наименьшее красное число, то есть 7: 

Минимально возможная сумма 29 зелёных и 1 красного чисел больше 1467, тогда любая сумма 29 зелёных и 1 красного чисел больше 1467. Значит, если на доске написано только одно красное число, сумма чисел не может быть равна 1467.

в) Пусть n - число красных чисел, тогда число зелёных составит (30-n). Как было показано выше, при одном, самом маленьком, красном числе сумма всех чисел больше, чем 1467. Это означает, что нам необходимо заменять зеленые числа на красные, причем, поскольку нам надо, чтобы красных чисел было минимальное число, то необходимо заменить минимальное возможное количество зеленых чисел, то есть наибольшие зеленые числа заменять на наименьшие красные. Тогда суммы красных  и зелёных  чисел, аналогично с предыдущими пунктами будут суммами арифметических прогрессий:

Сумма всех чисел  должна быть по крайней мере меньше или равна 1467, тогда:

Значит, необходимо заменить не менее 10 зеленых чисел. В ряду из 30 зелёных чисел заменим зеленые числа на красные: 150 на 7, 145 на 14, 140, на 21, 135 на 28, 130 на 35, 125 на 42, 120 на 49, 115 на 56, 110 на 63. Таким образом, сумма чисел, записанных на доске, составит:

Заменим теперь 80 на 77:

Таким образом, получается, что наименьшее количество красных чисел при сумме всех чисел 1467 равно 10.

Ответ:а) Да; б) Нет; в) 10.