Если хотя бы одна цифра в за­пи­си числа — нуль, то про­из­ве­де­ние цифр равно 0, а тогда их сумма равна 1. Един­ствен­ное такое четырёхзнач­ное число — 1000, но оно не крат­но 11. По­это­му нулей среди цифр нет. От­сю­да сле­ду­ет, что все цифры не мень­ше 1, и их сумма не мень­ше четырёх, а зна­чит, про­из­ве­де­ние цифр не мень­ше пяти. Чтобы про­из­ве­де­ние было не мень­ше пяти хотя бы одна из цифр долж­на быть боль­ше 4. Рас­смот­рим такие числа в по­ряд­ке воз­рас­та­ния суммы их цифр.

Если сумма цифр равна 5, то число за­пи­сы­ва­ет­ся одной двой­кой и тремя еди­ни­ца­ми (это числа 1112, 1121, 1211, 2111). Про­из­ве­де­ние цифр равно 2, по­это­му они не удо­вле­тво­ря­ют усло­вию.

Если сумма цифр равна 6, то число за­пи­сы­ва­ет­ся одной трой­кой и тремя еди­ни­ца­ми или двумя двой­ка­ми и двумя еди­ни­ца­ми (это числа 1113, 1131, 1311, 3111, 1122, 1212, ...). Про­из­ве­де­ние цифр равно 3 или 4 со­от­вет­ствен­но, по­это­му такие числа не удо­вле­тво­ря­ют усло­вию.

Если сумма цифр равна 7, то это число за­пи­сывается трой­кой, двой­кой и двумя еди­ни­ца­ми (это числа 3211, 1123, 2113, 2311, 1132, 3112 ...). Произведение этих цифр равно 6, поэтому такие числа не удовлетворяют условию.

Если сумм цифр равна 8, то произведение должно быть равно 9. Это выполнено для чисел, записываемых двумя тройками и двумя единицами. Поскольку число 3311 кратно 11, оно и является искомым.