Найдем стоимость покупки: 4 кг 400 г орехов стоит 4,4 · 75 = 330 рублей. Значит, с 350 рублей Маша получит сдачи 350 − 330 = 20 рублей.

Ответ: 20.

Из диа­грам­мы видно, что наи­боль­шая и наи­мень­шая сред­не­ме­сяч­ные тем­пе­ра­ту­ры со­став­ля­ли 18 °C и −20 °C со­от­вет­ствен­но (см. ри­су­нок). Най­дем их раз­ность: 18 − (−20) = 38 °C.

Ответ: 38.

Площадь четырехугольника (в том числе невыпуклого) равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. Диагонали изображенного на рисунке четырехугольника являются взаимно перпендикулярными диагоналями квадратов со стороной 1. Поэтому длины диагоналей равны  , а синус угла между ними равен 1. Тем самым, площадь четырехугольника равна 1.

Ответ: 1.

Пусть один из друзей находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе окажутся 12 человек из 25 оставшихся одноклассников. Вероятность того, что второй друг окажется среди этих 12 человек, равна 12 : 25 = 0,48.

Ответ: 0,48.

Ис­поль­зу­ем фор­му­лу :

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние:

Ответ:2.

Имеем:

Ответ: 5.

Условие касания графика функции  и прямой  задаётся системой требований:

В нашем случае имеем:

Ответ: 7.

Поскольку боковые грани SAB, SDC и SBC наклонены к основани. под углом 60°, углы A и D в треугольнике ASD и угол G в треугольнике SGH равны 60°.

Поэтому треугольник ASD — равносторонний, а его сторона связана с высотой формулой  откуда 

Из прямоугольного треугольника SHG находим:

Поскольку ABCD — прямоугольник, его площадь равна произведения сторон:

Осталось найти объём пирамиды:

Ответ: 48.

Подставляя аргументы в формулу, задающую функцию, получаем:

Ответ: 14.

Пусть цена холодильника ежегодно снижалась на  процентов в год. Тогда за два года она снизилась на  откуда имеем:

Ответ: 11.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной на заданном отрезке:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Наименьшим значением заданной функции на отрезке  будет 

Ответ: −1.

а) Воспользуемся формулой  Из неё следует, что  Поэтому из исходного уравнения получаем:

б) При помощи тригонометрической окружности отберём корни, принадлежащие заданному отрезку.

Получим 

Ответ: а)  б) 

а) Прямые ВС₁ и AD₁ параллельны, поэтому угол между прямыми АС и ВС₁ равен углу CAD₁. Треугольник CAD₁ равносторонний, поэтому все его углы равны 60°.

б) Заметим, что прямые АС и ВС₁ содержатся в параллельных плоскостях ACD₁ и BC₁A₁. Значит, искомое расстояние равно расстоянию между этими плоскостями.

Обозначим центры треугольников ACD₁ и BC₁A₁ через точки О и О₁ соответственно. Точка D равноудалена от вершин треугольника ACD₁, поэтому проекция точки D на плоскость ACD₁ совпадает с О. Аналогично проекция точки D на плоскость BC₁A₁ совпадает с О₁, а проекции точки В₁ на плоскости ACD₁ и BC₁A₁ также совпадают с точками О и О₁ соответственно. Значит, прямая DB₁ перпендикулярна плоскостям ACD₁ и BC₁A₁ и содержит точки О и О₁.

Объем тетраэдра DACD₁ равен 36, а площадь его основания . Значит, высота . Аналогично . Кроме того, . Значит, .

Ответ: б) 

Преобразуем неравенство:

Заметим, что  Пусть  Тогда неравенство системы принимает вид:

Данное неравенство выполняется только при  Значит,

С учётом ограничений из первой системы получаем, что 

Ответ: −2.

а) Пусть BC ∩ AE = L, тогда треугольники AED и LEC равны, так как DE = CE, ∠AED = ∠LEC, ∠ADE = ∠LCE. Следовательно, BE — медиана ABL. Далее, ΔABE ∼ ΔKBO, , и ΔLBE ∼ ΔCBO с тем же коэффициентом подобия  Тогда

б) Поскольку ΔAED = ΔLEC,  Далее, ΔKBC∼ΔABL. Значит,  то есть  Тогда

Ответ: 3 : 7.

Обозначим буквой t время, прошедшее с начального момента времени. Поскольку каждый велосипедист движется по взаимно перпендикулярным дорогам, то расстояние между ними может быть вычислено по теореме Пифагора. Рассмотрим f (t) — квадрат длины в каждый момент времени, тогда:

Итак,  У данной квадратичной функции есть наименьшее значение, которое достигается при  мин. Найдем его:

Таким образом минимальное расстояние между велосипедистами равно  км, и будет достигнуто через  мин.

Ответ:  мин,  км.

Заметим, что при любых значениях переменной  и параметра  знаменатель дроби в левой части неравенства положителен, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало отрезок  синус должен принимать все значения  (см. рисунок)

Пусть , тогда неравенство принимает вид

Рассмотрим функцию  Для того, чтобы множество решений последнего неравенства содержало отрезок  необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два условия  и 

Ответ: 

а) Для чисел x = 17 и y = 10 выполняется условие 3x = 8y −29, q = 170, d = 1, 

б) и в) При x = 1 и y = 4 выполняется равенство 3x = 8y − 29 и  Покажем, что никакое значение  не реализуется.

Если x = y, то  что невозможно, поскольку числа x и y — натуральные. Пусть для определённости x < y и x = ad, a y = bd. Тогда натуральные числа a и b взаимно просты и a < b. Получаем  откуда 

Если  то a = b, что невозможно.

Если  то a = 1, b = 2 и, значит, y = 2x, откуда  что невозможно.

Если  то a = 1, b = 3 и, значит, y = 3x, откуда  что невозможно.

Ответ: а) да; б) нет) в) 4.