Пусть ис­ход­ные числа равны    и пусть суммы цифр, сто­я­щих в раз­ря­де еди­ниц и де­сят­ков, со­от­вет­ствен­но  и 

а) Решим си­сте­му урав­не­ний:

При­ме­ром ис­ход­но­го на­бо­ра чисел может быть 70 дву­знач­ных чисел, за­кан­чи­ва­ю­щих­ся еди­ни­цей, сумма де­сят­ков ко­то­рых дает 290. На­при­мер, это 68 чисел 41 и два числа 91 или 50 чисел 51 и 20 чисел 21. Ещё при­мер (его можно по­стро­ить, об­ра­тив вни­ма­ние, что сумма де­сят­ков при­мер­но в 4 раза боль­ше суммы еди­ниц): 32 раза число 92 и число 26.

б) Решим си­сте­му урав­не­ний:

По­сколь­ку нулей в за­пи­си чисел нет, сумма цифр, сто­я­щих в раз­ря­де еди­ниц, не мень­ше ко­ли­че­ства чисел. Тем самым, чисел не боль­ше 30. Но тогда сумма цифр, сто­я­щих в раз­ря­де де­сят­ков, не может быть боль­ше 270. Про­ти­во­ре­чие.

Иначе: по­сколь­ку в за­пи­си нет нулей, а цифры в раз­ря­де де­сят­ков не пре­вы­ша­ют 9, спра­вед­ли­вы со­от­но­ше­ния:  то есть  что про­ти­во­ре­чит по­лу­чен­ной си­сте­ме, в ко­то­рой 

в) Тре­бу­ет­ся опре­де­лить, для ка­ко­го наи­мень­ше­го S имеет ре­ше­ния си­сте­ма урав­не­ний

Из по­лу­чен­ной си­сте­мы сле­ду­ет, что ве­ли­чи­на S крат­на 9 и 11 то есть крат­на 99. Тогда  Тогда

Наи­мень­ше­му зна­че­нию  со­от­вет­ству­ет наи­мень­шее зна­че­ние  при­чем из вто­ро­го урав­не­ния си­сте­мы ясно, что  Улуч­шим оцен­ку: за­ме­тим, что  от­ку­да  тогда

и, тем самым, 

Если  то:   за­дан­ным на­бо­ром чисел, на­при­мер, яв­ля­ют­ся 30 чисел 91, 9 чисел 21 и число 51, сумма чисел в на­бо­ре равна 

Ответ: а) на­при­мер, 32 раза число 92 и число 26, б) нет, в) 693.