В цен­тре участ­ка перед домом рас­по­ло­жен пруд, сле­до­ва­тель­но, он от­ме­чен на плане циф­рой 5. Спра­ва от пруда на­хо­дит­ся гараж, зна­чит, он от­ме­чен на плане циф­рой 7. Будка имеет наи­мень­шую пло­щадь на участ­ке. Зна­чит, будка от­ме­че­на на плане циф­рой 1. Жилой дом на­хо­дит­ся на в глу­би­не тер­ри­то­рии, сле­до­ва­тель­но, он от­ме­чен на плане циф­рой 4.

Ответ: 5714.

Заметим, что, поскольку одна плитка имеет площадь 0,25 м², для площадки перед верандой понадобится 48 плиток. Для того чтобы выложить все дорожки, понадобится ещё 20 плиток. Значит, всего необходимо

Теперь найдём, сколько упаковок плитки понадобилось: 

Следовательно, чтобы выложить все дорожки и площадку перед верандой понадобится 17 упаковок плитки.

Ответ: 17.

Площадь огорода, не занятого постройками, равна:

Ответ: 12.

Найдём расстояние от жилого дома до будки по теореме Пифагора:

Ответ: 5.

Чтобы провести линию электропередач, понадобится 40 000 руб. Чтобы купить генератор, понадобится 65 000 руб. Разница в стоимости составляет 65 000 − 40 000 = 25 000 руб. Час использования электроэнергии от генератора стоит 38 · 3 = 114 руб. Час использования электроэнергии от линии электропередач стоит 7 · 22 = 154 руб. Разница в стоимости составляет 40 руб. Значит, экономия от использования генератора вместо линии электропередач компенсирует разность в стоимости организации электричества на участке через  часов.

Ответ: 625.

Умножим числитель и знаменатель на 10:

Ответ: 55.

Отметим на координатной прямой приведённые в условии числа:

Из рисунка видно, что наименьшим из данных чисел является a + x.

Правильный ответ указан под номером: 1.

Упростим каждое выражение.

1) 

2) 

3) 

4) 

Умножим обе части уравнения на 24:

Ответ: −4.

Вероятность события равна отношению количества благоприятных случаев к количеству всех случаев. Благоприятными случаями являются 3 случая, когда игру начинает Петя, Игорь или Антон, а количество всех случаев 6. Поэтому искомое отношение равно 

Ответ: 0,5.

Для члена  имеем:  По формуле нахождения n-го члена арифметической прогрессии имеем:

Первое число, которое удовлетворяет этому условию, число 6. Следовательно, первым отрицательным членом прогрессии является 

Таким образом, правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1.

Упростим выражение

Подставим значения :

Ответ: 48

Выразим время из формулы Джоуля-Ленца:  Подставляя, находим:

Ответ: 6.

Решим неравенство методом интервалов:

Правильный ответ указан под номером: 2.

Так как  и , односторонние и их сумма равна 180°, прямые, которые заключают эти углы, — параллельны. Найдем угол, смежный с углом 3:  Этот угол и угол 4 соответственные и равны так как прямые параллельны.

Таким образом, угол 4 = 125°.

Ответ: 125.

Радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания, поэтому углы CAO и OBC равны 90°. Сумма углов четырёхугольника равна 360°, откуда:

Ответ: 97.

Про­ведём вы­со­ту  Сред­няя линия равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний:  Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

По­сколь­ку  — сред­няя линия,  по­это­му  От­рез­ки  и  равны,  по тео­ре­ме Фал­ле­са по­лу­ча­ем, что  Найдём пло­щадь тра­пе­ции 

Ответ: 4.

Введем обозначения, как показано на рисунке и проведём высоту трапеции СH. В прямоугольном треугольнике BCH длины катетов равны 3 и 4, поэтому гипотенуза равна  Следовательно, искомый синус острого угла B, равный отношению противолежащего углу катета CH к гипотенузе BC, равен 

Ответ: 0,8.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны» — верно по признаку подобия треугольников.

2) «Вертикальные углы равны» — верно, это теорема планиметрии.

3) «Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой» — неверно, это утверждение справедливо только для равностороннего треугольника.

Ответ: 12.

Решим неравенство методом интервалов, для этого, сначала разложим на множители выражение 

Теперь расставим точки на прямой и определим знаки выражения на каждом получившемся промежутке (см. рис.).

Таким образом, ответ 

Ответ: 

Пусть  км/ч — собственная скорость лодки. Тогда скорость движения по течению равна  км/ч, а скорость движения против течения равна  км/ч. Обозначим  расстояние между пристанями. Время, затраченное на весь путь, равно

По условию средняя скорость равна 8 км/ч, а весь путь равен . Следовательно,

Решим это уравнение:

Получаем:  или . Корень −1 не является решением задачи. Значит, скорость лодки равна 9 км/ч.

Ответ: 9 км/ч.

Упростим выражение:

По теореме, обратной теореме Виета, корни уравнения  равны -1 и -2 соответственно, тогда по формуле , получаем:. Имеем:

График функции сводится к графику параболы  с выколотой точкой 

Выделим полный квадрат:

Следовательно, график функции получается из графика функции  сдвигом на . (см. рис.)

Из графика видно, что прямая  имеет с графиком функции ровно одну общую точку при  и 

Ответ: −1; 3.

Поскольку ABCD — ромб, AD = DC = DH + HC = 13.

Треугольник ADH прямоугольный, поэтому: 

Ответ: 5.

Рассмотрим маленькие треугольники  и  ,  следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу. Аналогично равны между собой и остальные маленькие треугольники. Следовательно, 

Любой угол правильного восьмиугольника равен  Треугольники  и  — равнобедренные, углы при основаниях равны  Рассмотрим развёрнутый угол 

Аналогично все остальные углы восьмиугольника  равны  следовательно, восьмиугольник  — правильный.

Пусть Q — центр большей окружности, а O — центр меньшей, QM и ON — радиусы, проведённые в точки касания окружностей с прямой AC , S — центр окружности, описанной около треугольника ABC , r — радиус окружности, описанной около треугольника ABC .

Поскольку BC и AB — общие касательные к окружностям, BO и BQ — биссектрисы углов ABK и смежного с ним. Значит, угол OBQ прямой, следовательно, из треугольника OBQ находим, что 

Пусть AN = x. Прямоугольные треугольники ANO и AMQ подобны с коэффициентом 1,25, значит, AM = 1,25x , MN = 0,25x.

Отрезки MC , CK и CN равны как отрезки касательных, проведённых из одной точки, значит, , , откуда .

В прямоугольном треугольнике ABK находим неизвестный катет:

В прямоугольном треугольнике SBK по теореме Пифагора имеем

Ответ: 182,25.