Стол планируется поставить в центре кухни, значит, стол отмечен на плане цифрой 4. Раковина будет смонтирована слева от двери, значит, раковина отмечена цифрой 5. В углу слева от окна планируется поставить плиту, она отмечена на плане цифрой 1. Известно, что холодильник планируется поставить в угол кухни. В углах левой части кухни будут стоять плита и раковина, в угле справа от двери будут стоять полки для посуды. Значит, холодильник отмечен на плане цифрой 2.

Заметим, что, поскольку одна плитка имеет площадь 0,09 м², чтобы выложить пол в кухне понадобится столько плитки, сколько площади занимает кухня. Сторона одной клетки равна 0,3 м, значит, площадь кухни равна 9 · 0,3 · 9 · 0,3 = 7,29 м². Теперь найдём, сколько плитки понадобится:  Следовательно, чтобы выложить пол в кухне, понадобится  упаковок плитки. Значит, необходимо купить 17 упаковок плитки.

Сто­ро­на одной клет­ки равна 0,3 м. Зна­чит, пло­щадь кухни равна:

Вла­де­лец не ста­нет под­во­дить обо­грев под хо­ло­диль­ник, плиту, буфет, ра­ко­ви­ну и полки для по­су­ды, а также на уча­сток между бу­фе­том и пли­той, ко­то­рый имеет пло­щадь 0,18 м². Хо­ло­диль­ник за­ни­ма­ет пло­щадь 0,36 м². На плане видно, что ра­ко­ви­на и плита также за­ни­ма­ют 0,36 м². Буфет за­ни­ма­ет 0,72 м². Полки для по­су­ды за­ни­ма­ют уча­сток пло­ща­дью  м². Зна­чит, пло­щадь той части кухни, на ко­то­рой будет смон­ти­ро­ван элек­три­че­ский по­до­грев пола, равна

Найдём расстояние между противоположными углами обеденного стола по теореме Пифагора:

Разница в стоимости холодильников равна  руб. Стоимость электроэнергии за сутки работы первого холодильника равна  руб. Стоимость электроэнергии за сутки работы второго холодильника равна  руб. Значит, при установке первого холодильника владелец квартиры за сутки экономит  руб. Следовательно, в год владелец квартиры экономит  руб. Таким образом, экономия от меньшего расхода электроэнергии окупит разницу в цене этих холодильников через  лет. Округлив, получаем ответ: через 7 лет.

Запишем все числа с четырьмя знаками после запятой и поразрядно сравним цифры в их записи:

Наименьшим является последнее число, наибольшим — второе число.

По условию оба числа отрицательны, причём .

Поэтому числа  и  положительны, а числа  и  — отрицательны.

Рассмотрим предложенные варианты ответа и выберем наименьшее число:

1) Заметим, что числа  и  больше нуля, а числа  и  меньше нуля, так как числа  и  по условию отрицательны.

2) Верно неравенство .

3) Так как по условию  Поэтому  — наименьшее из заданных чисел.

Чтобы от­ве­тить на во­прос, воз­ведём в квад­рат числа 

По­сколь­ку   имеем:  Таким об­ра­зом, наи­боль­шее число 5.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

Из 900 карт исправны 900 − 54 = 846 шт. Поэтому вероятность того, что случайно выбранная флеш-карта пригодна для записи равна:

Поскольку гипербола проходит через точку (−1; 1), имеем: 

Найдем знаменатель геометрической прогрессии:  Поэтому, 

Преобразуем выражение:

Подставим 

Найдем расстояние, на котором находится наблюдатель от места удара молнии:

Последовательно получаем:

Пусть точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей — точка O. Диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам, от­ку­да AO = OC = AB = CD. По­сколь­ку OC = CD, тре­уголь­ник COD — рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но, ∠COD = ∠CDO = (180° − ∠ACD)/2 = 159°/2 = 79,5°. Угол COD яв­ля­ет­ся ис­ко­мым углом между диа­го­на­ля­ми па­рал­ле­ло­грам­ма.

Пусть R — ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти. Так как окруж­ность опи­са­на во­круг пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, то ее центр лежит на се­ре­ди­не ги­по­те­ну­зы. Таким об­ра­зом, ги­по­те­ну­за равна 2R.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра имеем:

Пусть длина высоты трапеции равна  Площадь трапеции можно найти как произведение полусуммы оснований на высоту:

Высота трапеции также является высотой треугольника  Найдём площадь треугольника  как полупроизведение основания на высоту:

Центральный угол  равен 135°. Угол  опирается на ту же дугу, что и , но является вписанным, поэтому равен его половине, т.е. 67,5°

Ответ: 67,5

Проверим каждое из утверждений.

1) «Точка касания двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей» — неверно: точка касания двух окружностей удалена от центра на величину радиуса каждой окружности.

2) «В параллелограмме есть два равных угла» — верно, в параллелограмме противоположные углы равны.

3) «Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов» — неверно: площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов.

Перенесем все члены в левую часть и разложим ее на множители:

  при всех значениях   поэтому   Значит,  

Пусть S км — рас­сто­я­ние, на ко­то­рое от ла­ге­ря от­плы­ли ту­ри­сты. Зная, что ско­рость те­че­ния реки — 3 км/ч, а ско­рость лодки — 6 км/ч, найдём, что время, за ко­то­рое они про­плы­ли туда и об­рат­но, со­став­ля­ет  Учи­ты­вая, что они были на сто­ян­ке 2 часа и вер­ну­лись через 6 часов после от­плы­тия можно со­ста­вить урав­не­ние:

От­сю­да S = 9 км.

Абсцисса вершины параболы определяется по формуле  Для данных парабол это точки p и 2p.

Ордината  вершины находится подстановкой  в уравнение параболы. Для данных парабол получаем:  и 

Вершины парабол находятся по разные стороны от оси абцсисс, если ординаты их вершин имеют разные знаки.

Два множителя имеют разные знаки тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно. Тем самым, требуется решить неравенство  Заметим, что первый множитель меньше нуля при всех значениях p, поэтому на него можно разделить, изменив знак неравенства на противоположный. Имеем:

Произведение двух сомножителей больше нуля, если они имеют один и тот же знак (см. рис.). Таким образом, получаем ответ:

Пусть A₁, B₁ и C₁ — точки касания вписанной окружности со сторонами BC, AC и AB соответственно. Радиус вписанной окружности обозначим r. Тогда AC₁ = AB₁, BC₁ = BA₁ и CA₁ = CB₁ = r. Периметр треугольника ABC равен

а его полупериметр p равен AB + r.

По формуле площади треугольника находим 

Поскольку треугольник   — равнобедренный, получаем, что его медиана    также является высотой. Значит, в треугольнике    отрезок    является высотой и медианой. Поэтому треугольник   — равнобедренный, то есть  .

Введём обозначения, как показано на рисунке. Угол  и  равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим треугольники  и  они прямоугольные, углы  и  равны, следовательно, эти треугольники подобны, откуда  Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам:  Получаем:

Из прямоугольного треугольника  используя теорему Пифагора найдём