Переведем число в десятичную систему счисления:

Десятичное число 54 в восьмеричной системе счисления записывается как 66.

Рассмотрим данное выражение. Преобразуем логическое выражение (z ∧ y) ∨ ((x → z ) ≡ (y → w)) и получим систему, при которой оно ложно:

Заметим, что второй столбец таблицы истинности это z, тогда четвёртый столбец таблицы истинности это переменная x. Из условия  следует, что переменная y соответствует третьему столбцу таблицы истинности, а переменная wсоответствует первому столбцу таблицы истинности.

Найдём все варианты маршрутов из A в Z и выберем самый короткий.

В пункт B можно попасть из пунктов A и C.

В пункт C можно попасть из пунктов A, B, D, F, Z.

В пункт D можно попасть из пунктов C и E.

В пункт E можно попасть из пунктов D, Z.

В пункт F можно попасть из пунктов C, Z.

В пункт Z можно попасть из пунктов A, C, E, F.

Длина маршрута A-Z равна 21.

Длина маршрута A-B-C-Z равна 4 + 3 + 20 = 27.

Длина маршрута A-C-Z равна 9 + 20 = 29.

Длина маршрута A-B-C-D-E-Z равна 4 + 3 + 2 + 4 + 4 = 17.

Длина маршрута A-C-F-Z равна 9 + 11 + 2 = 22.

Длина маршрута A-B-C-F-Z равна 4+3+11+2 = 20,

Из первой таблицы видно, что ID Керзона П. А. равен 1217. Найдем во второй таблице в графе «ID_ребенка» номер Керзона П. А. Видно, что его родители имеют ID 3272 и 3331. Родители обладателей этих ID имеют ID 3227 и 3228. Обладатели ID 3227 и 3228 имеют детей, ID которых 3299 и 3227. Значению ID 3299 соответствует Базилевич И. Б.

Сначала следует представить данные в условии числа в двоичном коде:

Затем закодировать последовательность букв: ТИХОХОД — 1000100111001101. Теперь разобьём это представление на четвёрки справа налево и переведём полученный набор чисел cначала в десятичный код, затем в шестнадцатеричный.

1000 1001 1100 1101 — 8 9 12 13 — 89СD.

Будем решать задачу с конца, команды будем записывать от конца к началу.

1) Число 48 кратно 3, поскольку мы хотим получить не более 5 команд, выгодно использовать команду 2: 48 = 16 · 3 (команда 2).

2) Число 16 не кратно трём, следовательно, оно получено прибавлением числа 3: 16 = 13 + 3 (команда 1).

Повторяя второе рассуждение для чисел 13, 10, 7 и 4, мы не придём к числу 3, следовательно, необходимо закончить алгоритм (начать рассуждение) с команды 1. Поскольку число 45 = 48 − 3, кратно трём, воспользуемся командой 2. Из числа 15 можно получить число 5 командой 2, однако после этого никакими командами не будет возможно достичь числа 3, следовательно, выполним команду 1. Из тех же соображений для числа 12 также выполним команду 1. Из числа 9 число 3 получим с помощью команды 2.

Найденное преобразование: 3 → 9 → 12 → 15 → 45 → 48. Ответ: 21121.

По рисунку видно, что значения всех трёх ячеек диапазона A2:С2 равны. Приравняем значения ячеек А2 и В2, решим уравнение: C1 − B1 * 5 = (B1 + C1) / A1, из него C1 = 11 при А1 равном 2, В1 равном 1.

Цикл while выполняется до тех пор, пока истинно условие s <= 256, т. е. переменная s определяет, сколько раз выполнится цикл.

Цикл выполнится  раз. Следовательно, значение n будет равно 11.

Способ А. Общее время складывается из времени сжатия, распаковки и передачи. Время передачи t рассчитывается по формуле t = Q / q, где Q — объём информации, q — cкорость передачи данных.

Найдём сжатый объём: 12 · 0,75 = 9 Мбайт. Переведём Q из Мбайт в биты: 9 Мбайт = 9 · 2²⁰ байт = 9 · 2²³ бит. Найдём общее время: t = 13 с + 3 с + 9 · 2²³ бит / 2²² бит/с = 16 + 9 · 2¹ с = 34 с.

Способ Б. Общее время совпадает с временем передачи: t = 12 · 2²³ бит / 2²² бит/с = 12 · 2¹ с = 24 с. Таким образом, способ Б быстрее на 34 − 24 = 10 с.

Если в алфавите M символов, то количество всех возможных «слов» (сообщений) длиной N равно Q = M^N. Первая и последняя буквы пятибуквенного слова фиксированы, значит, задача сводится к нахождению количества возможных слов длиной 3 в шестибуквенном алфавите. Их число равно 6³ = 216.

Моделируем работу алгоритма.

F(5):F(1):F(0)

               1

               F(0)

         5

         F(4):F(1):1

                  4

                  F(3):F(0)

                           3

                           F(2):F(0)

                                    2

                                    F(1)

                                    1

Таким образом, при выполнении вызова F(5) будут напечатаны числа 1514321.

Рассмотрим третий слева байт в IP-адресе узла и адресе сети, представим их в двоичном виде:

Сравнивая два этих числа, получаем, что маска сети: 11000000₂ = 192₁₀.

Известно, что с помощью N бит можно закодировать 2^N различных чисел. Поскольку 2⁸ < 359 < 2⁹ и для каждого спортсмена число бит одинаково, то для записи каждого из 359 номеров необходимо 9 бит памяти. Поэтому сообщение о 168 номерах имеет объем 168 · 9 = 189 байт.

В данной программе РОБОТ поступает следующим образом: сперва РОБОТ проверяет, свободна ли клетка справа или снизу от него. Если это так, то РОБОТ переходит к первому действию внутри цикла. В этом цикле если у нижней стороны клетки, в которой находится РОБОТ, нет стены, он двигается вниз, в противном случае он перемещается вправо. После этого возвращается к началу внешнего цикла. Проанализировав эту программу, приходим к выводу, что РОБОТ не может разбиться.

Проверив все клетки по выведенному нами правилу движения РОБОТА, выясняем, что число клеток, удовлетворяющих условию задачи равно 21: все клетки кроме клеток, отмеченных на рисунке красным цветом.

Начнем считать количество путей с конца маршрута – с города К. N_X — количество различных путей из города А в город X, N — общее число путей.

В "К" можно приехать из И, Ж, или З, поэтому N = N_К = N_И + N_Ж + N _З (1)

Аналогично:

N_И = N_Д;

N_Ж = N_Д + N_В + N_Е;

N_З = N_Е.

Добавим еще вершины:

N_Д = N_Б + N_В ;

N_В = N_Б + N_Г;

N_Е = N_В + N_Г ;

N_Г = N_А = 1;

N_Б = N_А = 1.

Преобразуем вершины:

N_Д = N_Б + N_В = 1 + 2 = 3;

N_В = N_Б + N_Г = 1 + 1 = 2;

N_Е = N_В + N_Г = 2 + 1 = 3;

N_Г = N_А = 1;

N_Б = N_А = 1.

N_И = N_Д = 3;

N_Ж = N_Д + N_В + N_Е = 3 + 2 + 3 = 8;

N_З = N_Е = 3.

Подставим в формулу (1):

N = N_К = 3 + 8 + 3 = 14.

Представим число 4 в виде суммы степеней числа 3: 4 = 1 · 3¹ + 1 · 3⁰. Последняя цифра в записи этого числа в троичной системе счисления —  коэффициент при тройке в нулевой степени.

Логическая операция “И” истинна только тогда, когда истинны оба аргумента. Например, чтобы было истинно «канарейки & содержание» необходимо, чтобы в тексте содержалось и слово «канарейки» и слово «содержание».

Для истинности логической операции “ИЛИ” достаточно истинности лишь одного из ее аргументов. Например, чтобы было истинно «канарейки ∨ содержание» необходимо, чтобы в тексте содержалось или слово «канарейки» или слово «содержание».

Вывод: чем больше «&», тем меньшее количество страниц найдет поисковик, чем больше «|», тем большее.

Чтобы найти наибольшее целое неотрицательное число A, при котором выражение будет тождественно истинно при любых целых неотрицательных x и y, рассмотрим, в каких случаях условие (y + 2x ≠ 48) ложно.

Таким образом, находим все решения, когда (y = 48 − 2x). Это x в промежутке от 0 до 24 и y в промежутке от 48 до 0. Заметим, что для того, чтобы выражение подходило для любых x и y, требуется взять x = 16 и y = 16. Тогда A < 16. Следовательно, наибольшее целое неотрицательное число A будет равняться 15.

Промодулируем работу программы:

A = { 6, 7, 5, 8, 3, 2, 0, 1, 9, 4 }, c = 0

A = { 5, 7, 6, 8, 3, 2, 0, 1, 9, 4 }, c = 1

A = { 5, 7, 6, 8, 3, 2, 0, 1, 9, 4 }, c = 1

A = { 3, 7, 6, 8, 5, 2, 0, 1, 9, 4 }, c = 2

A = { 2, 7, 6, 8, 5, 3, 0, 1, 9, 4 }, c = 3

A = { 0, 7, 6, 8, 5, 3, 2, 1, 9, 4 }, c = 4

A = { 0, 7, 6, 8, 5, 3, 2, 1, 9, 4 }, c = 4

A = { 0, 7, 6, 8, 5, 3, 2, 1, 9, 4 }, c = 4

A = { 0, 7, 6, 8, 5, 3, 2, 1, 9, 4 }, c = 4

Рассмотрим цикл, число шагов которого зависит от изменения переменной x:

while x > 0 do begin

...

x:= x div 10;

end;

Т. к. оператор div оставляет только целую часть от деления, то при делении на 10 это равносильно отсечению последней цифры.

Из приведенного цикла видно, что на каждом шаге от десятичной записи x отсекается последняя цифра до тех пор, пока все цифры не будут отсечены, то есть x не станет равно 0; поэтому цикл выполняется столько раз, сколько цифр в десятичной записи введенного числа, при этом число a столько же раз увеличивается на 1. Следовательно, конечное значение a совпадает с числом цифр в x. Для того, чтобы a стало a = 3, x должно быть трёхзначным.

Теперь рассмотрим оператор изменения b:

while x>0 do begin

b:=b*(x mod 10);

end;

Оператор mod оставляет только остаток от деления, при делении на 10 это последняя цифра x; следовательно, число b получается произведением цифр числа x.

b = x(1) * x(2) * x(3) = 7, где число в скобках означает номер цифры в числе x. Число 7 простое, поэтому 7 = 7 * 1 * 1. Составляем максимальное число: 711

Алгоритм предназначен для поиска наибольшего t, при котором функция F(t) имеет наибольшее значение на отрезке от a до b. Преобразуем функцию:

Вычислим производную функции:

Нули производной: x = 3. Воспользуемся методом интервалов:

Таким образом, функция достигает наибольшего значения в точке b. Следовательно, программа выведет на экран число 27.

Начнем анализировать программу. Нам задали два значения n = 4, s = 0. Начнем идти по программе: когда n примет свое значение равное 8 программа остановится.

1)следовательно после выполнения первого круга n = 4, s = 15 далее мы увеличиваем n на единицу, а s на 15.

2)n = 5, s = 15 + 15 = 30

3)n = 6, s = 30 + 15 = 45

4)n = 7, s = 45 + 15 = 60

5)n = 8, s = 60 + 15 = 75, все программа останавливается, так как n = 8

Следовательно s принимает свое значение после выполнения программы равное 75.

Построим древо решений для первого уравнения.

Первое уравнение имеет 12 решений. Второе уравнение связано с первым только через переменные x₃ и x₄. На основании древа решений для первого уравнения выпишем пары значений переменных x₃ и x₄, которые удовлетворяют первому уравнению и укажем количество таких пар значений.

Поскольку уравнения идентичны с точностью до индексов переменных, древо решений второго уравнения аналогично первому. Следовательно, пара значений x₃ = 1 и x₄ = 1 порождает два набора переменных x₃, ..., x₆, удовлетворяющих второму уравнению. Поскольку среди наборов решений первого уравнения данных пар четыре, всего получаем 4 · 2 = 8 наборов переменных x₁, ..., x₆, удовлетворяющих системе из двух уравнений. Рассуждая аналогично для пары значений x₃ = 0 и x₄ = 0, получаем 8 наборов переменных x₁, ..., x₆. Пара x₃ = 1 и x₄ = 0 порождает четыре решения второго уравнения. Поскольку среди наборов решений первого уравнения данных пар две, получаем 2 · 4 = 8 наборов переменных x₁, ..., x₆, удовлетворяющих системе из двух уравнений. Аналогично для x₃ = 0 и x₄ = 1 — 8 наборов решений. Всего система из двух уравнений имеет 8 + 8 + 8 + 8 = 32 решения.

Проведя аналогичные рассуждения для системы из трёх уравнений, получаем 80 наборов переменных x₁, ..., x₈, удовлетворяющих системе. для системы из четырёх уравнений существует 192 набора переменных x₁, ..., x₁₀, удовлетворяющих системе.

Содержание верного ответа и указания по оцениванию (допускаются иные формулировки ответа, не искажающие его смысла)

 Элементы ответа:

1)

2) Возможная доработка (Паскаль):

if (y<=4-x*x) and ((y>=0)and(x<=0)) or ((x>0)and(y>=x*x-2)) then

write('принадлежит')

else

write('не принадлежит')

(могут быть и другие способы доработки).

Допускаются иные формулировки ответа, не искажающие его смысла.

1а) Петя может выиграть, если S = 13, …, 24. Во всех этих случаях достаточно удвоить количество камней. При меньших значениях S за один ход нельзя получить кучу, в которой больше 24 камней.

1б) Ваня может выиграть первым ходом (как бы ни играл Петя), если исходно в куче будет S = 12 камней. Тогда после первого хода Пети в куче будет 13 камней или 24 камня. В обоих случаях Ваня удваивает количество камней и выигрывает в один ход.

2. Возможные значения S: 6 и 11. В этих случаях Петя, очевидно, не может выиграть первым ходом. Однако он может получить кучу из 12 камней: в первом случае удвоением, во втором добавлением одного камня. Эта позиция разобрана в п. 1б. В ней игрок, который будет ходить (теперь это Ваня), выиграть не может, а его противник (то есть Петя) следующим ходом выиграет.

3. Возможное значение S: 10. После первого хода Пети в куче будет 11 или 20 камней, Если в куче станет 20 камней, Ваня удвоит количество камней и выиграет первым ходом. Ситуация, когда в куче 11 камней, разобрана в п. 2. В этой ситуации игрок, который будет ходить (теперь это Ваня), выигрывает своим вторым ходом.

В таблице изображено дерево возможных партий при описанной стратегии Вани. Заключительные позиции (в них выигрывает Ваня) подчёркнуты. На рисунке это же дерево изображено в графическом виде (оба способа изображения дерева допустимы).

Наименьшая возможная сумма цифр числа в заданном диапазоне равна 0, наибольшая — 27. Необходимо создать массив с индексами от 0 до 27 и использовать его для подсчёта встречающихся сумм. Использование массива не делает программу неэффективной по памяти, так как размер массива не зависит от N. Затем нужно найти значение минимального элемента этого массива и вывести его индекс. Ниже приведены реализующие описанный выше алгоритм программы на языке Паскаль (использована система программирования PascalABC) и языке Java (версия языка 5.0 или выше). Программы отличаются способом вычисления суммы цифр очередного числа: в программе на Паскале использован обычный цикл разложения числа на цифры десятичной записи, в программе на Java сумма вычисляется по формуле, учитывающей, что число содержит не более трёх цифр. Оба способа допустимы

Далее последует пример кода, который работает за линейное время.

Язык — PascalABC.

var     
  N: integer;     {количество чисел}     
  a: integer;     {очередное число}     
  s: integer;     {сумма цифр числа}    
  k: array [0..27] of integer; {подсчёт сумм}    
  mn: integer;    {минимум в массиве k}    
  imn: integer;   {самая редкая сумма}   
  i: integer; 
begin     
  for i:=0 to 27 do k[i]:=0;     
  readln(N);    
  for i:=1 to N do begin        
    readln(a);       
    s := 0;         
    while a>0 do begin    
          s := s + a mod 10;
          a := a div 10;
    end;         
    k[s] := k[s]+1;     
  end;     
  mn := N+1;     
  for i:=0 to 27 do begin        
     if (k[i]>0) and (k[i]<=mn) then begin       
         mn := k[i];           
         imn := i;        
     end;   
  end;        
  write(imn); 
end.

import java.util.Scanner;
 
public class P27B {
	public static void main(String[] args) {
		Scanner in = new Scanner(System.in);
		int N = in.nextInt();
		int k[] = new int[28];
		for (int i = 0; i < N; ++i) {
			int a = in.nextInt();
			int s = a / 100 + a / 10 % 10 + a % 10;
			++k[s];
		}
		int mn = N + 1;
		int imn = 0;
		for (int i = 0; i < k.length; ++i) {
			if (k[i] > 0 && k[i] <= mn) {
				mn = k[i];
				imn = i;
			}
		}
		System.out.print(imn);
	}
}
 

Пример правильной, но неэффективной программы на языке Паскаль.

var 
  N: integer; {количество чисел}
  val: integer; {самая редкая сумма}
  a: array [1..10000] of integer;
  max_lenght: integer;
  i, j, k, lenght: integer;
begin
  readln(N);
  for i:=1 to N do read(a[i]);
  for i:=1 to N do a[i] := a[i] mod 10 + a[i] div 10 mod 10 + a[i] div 100 mod 10;
  for i:=1 to N-1 do
    for j:=1 to N-i do
      if a[j] < a[j+1] then begin
        k := a[j];
        a[j] := a[j+1];
       a[j+1] := k;
     end;
  max_lenght := N+1;
  lenght := 0;
  val := a[1];
  for i := 1 to N do 
    if a[i]=a[i+1] then
     lenght := lenght + 1
    else begin
    if lenght<max_lenght then="" begin<p="">      max_lenght := lenght;
      val := a[i];
    end;
    lenght := 0;
    end;
  writeln(val);
end.