Приведём дроби к об­ще­му знаменателю:

Поскольку путь от вок­за­ла до уни­вер­си­те­та за­ни­ма­ет пол­то­ра часа, поезд дол­жен при­быть на вок­зал не позд­нее 08:30. Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ют по­ез­да под номерами: 026А и 002А. Из них позже от­прав­ля­ет­ся поезд под но­ме­ром 002А.

Правильный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Поскольку , имеем:  По­сколь­ку  имеем: 

Правильный ответ ука­зан под номером: 3.

Возведём каж­дое число в квадрат:

Заметим:

, значит, 

Из гра­фи­ка видно, что дав­ле­ние на вы­со­те Эве­ре­ста мень­ше дав­ле­ния на вы­со­те Денежкина Камня на  мм. рт. ст.

Умножим обе части урав­не­ния на 

Скорость ав­то­мо­би­ля составляет:  Значит, за 18 минут он про­едет 

Проанализируем каж­дое утверждение, ис­поль­зуя данные, пред­став­лен­ные на диаграмме.

1) Сектор, со­от­вет­ству­ю­щий восьмиклассникам, за­ни­ма­ет менее трети круга, по­это­му менее трети школьников, по­се­ща­ю­щих кружок яв­ля­ют­ся восьмиклассниками. Пер­вое утвер­жде­ние неверно.

2) Сектор, со­от­вет­ству­ю­щий пятиклассникам, боль­ше сектора, со­от­вет­ству­ю­ще­го семиклассниками, по­это­му пятиклассников боль­ше семиклассников. Вто­рое утвер­жде­ние неверно.

3) Сектор, со­от­вет­ству­ю­щий семиклассникам, за­ни­ма­ет более чет­вер­ти круга. По­сколь­ку всего школьников, по­се­ща­ю­щих кружок, 60 человек, се­ми­класс­ни­ков больше  человек. Тре­тье утвер­жде­ние верно.

4) Сектор, со­от­вет­ству­ю­щий шестиклассникам, за­ни­ма­ет менее по­ло­ви­ны круга, по­это­му менее пол­ви­ны школьников, по­се­ща­ю­щих кружок яв­ля­ют­ся шестиклассниками. Четвёртое утвер­жде­ние неверно.

При бро­са­нии ку­би­ка рав­но­воз­мож­ны шесть раз­лич­ных исходов. Со­бы­тию "выпадет чётное число очков" удо­вле­тво­ря­ют три случая: когда на ку­би­ке вы­па­да­ет 2, 4 или 6 очков. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что на ку­би­ке вы­па­дет чётное число очков равна 

Если па­ра­бо­ла за­да­на урав­не­ни­ем , то: при  то ветви па­ра­бо­лы на­прав­ле­ны вверх, а при  — вниз. Зна­че­ние c со­от­вет­ству­ет зна­че­нию функ­ции в точке x = 0. Следовательно, если гра­фик пе­ре­се­ка­ет ось ор­ди­нат выше оси абсцисс, то зна­че­ние c положительно, если ниже оси абсцисс — отрицательно.

Таким образом, функ­ци­ям со­от­вет­ству­ют сле­ду­ю­щие графики: А — 2, Б — 3, В — 1.

Определим зна­ме­на­тель гео­мет­ри­че­ской прогрессии:

Член гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром  может быть най­ден по формуле

Необходимо найти  имеем:

Преобразуем выражение:

Подставим зна­че­ния 

Подставим в фор­му­лу зна­че­ние пе­ре­мен­ной :

Решим неравенство:

Решение не­ра­вен­ства изоб­ра­же­но на рис. 2.

Разделим фигуру,изображенную на кар­тин­ке на 3 прямоугольника. Най­дем площадь пер­во­го прямоугольника: 5 · 1 = 5 м². Най­дем площадь вто­ро­го прямоугольника: 4 · 1 = 4 м². Най­дем площадь тре­тье­го прямоугольника: 4 · 1 = 4 м². Сло­жим все площади: 5 м²+4 м² + 4 м² = 13 м².

Таким образом, по­тре­бу­ет­ся закупить 13 м² пленки.

Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. Углы  и  равны как на­крест ле­жа­щие углы при па­рал­лель­ных пря­мых  и  По­сколь­ку  — бис­сек­три­са угла   Сумма смеж­ных углов па­рал­ле­ло­грам­ма равна  по­это­му угол  равен  Таким образом, ост­рый угол па­рал­ле­ло­грам­ма равен 

Угол ACB — вписанный, опи­ра­ет­ся на дугу AB, по­это­му он равен по­ло­ви­не дуги AB, то есть ве­ли­чи­на дуги ABравна 2 · 12° = 24°. По­сколь­ку BD — диаметр, гра­дус­ная мера дуги BAD равна 180°. гра­дус­ная мера дуги AD равна раз­но­сти гра­дус­ных мер дуг BAD и AB: 180° − 24° = 156°. Угол AOD — центральный, по­это­му он равен дуге, на ко­то­рую опирается, следовательно, он равен 156°.

Площадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию сторон на синус угла между ними. Cинус угла най­дем из ос­нов­но­го тригонометрического тождества:

Таким образом,

Из рисунка видно, что длина большего катета равна 8.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Вписанные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же хорду окружности, равны.» — неверно, вписанные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же хорду окружности, равны, если их вершины лежат по одну сторону от хорды.

2) «Если ра­ди­у­сы двух окруж­но­стей равны 5 и 7, а рас­сто­я­ние между их цен­тра­ми равно 3, то эти окруж­но­сти не имеют общих точек.» — неверно, окруж­но­сти имеют две общие точки.

3) «Если ра­ди­ус окруж­но­сти равен 3, а рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до пря­мой равно 2, то эти пря­мая и окруж­ность пересекаются.» — верно, если рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до пря­мой мень­ше радиуса, то пря­мая и окруж­ность имеют две общие точки.

4) «Если впи­сан­ный угол равен 30°, то дуга окружности, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся этот угол, равна 60°.» — верно, впи­сан­ный угол из­ме­ря­ет­ся по­ло­ви­ной дуги,на ко­то­рую он опирается.

При a ≠ 4 и a ≠ −4 ис­ход­ное вы­ра­же­ние при­ни­ма­ет вид:

При a = −45 зна­че­ние этого вы­ра­же­ния равно 360.

По усло­вию пер­вая труба за одну ми­ну­ту на­пол­ня­ет  часть бассейна, а две трубы вме­сте за одну ми­ну­ту на­пол­ня­ют часть бассейна. Таким образом, одна вто­рая труба за ми­ну­ту на­пол­ня­ет  часть бассейна, то есть она на­пол­ня­ет весь бас­сейн за 15 часов.

Графики функ­ций  и  будут иметь ровно одну общую точку, если урав­не­ние  будет иметь один корень. Дан­ное квад­рат­ное урав­не­ние имеет один корень, если дис­кри­ми­нант этого урав­не­ния равен нулю:

Следовательно, при  и  пря­мая  имеет ровно одну точку пе­ре­се­че­ния с па­ра­бо­лой  По­стро­им гра­фи­ки этих функций:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра вто­рой катет равен . С одной стороны, пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния катетов, а с дру­гой стороны, она равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ги­по­те­ну­зы на высоту, проведённую к ней. Следовательно, ис­ко­мая вы­со­та равна  .

Проведём FK па­рал­лель­но AD (см. рис.). Имеем AD = AK = KB, следовательно, па­рал­ле­ло­грамм AKFD яв­ля­ет­ся ромбом. Диа­го­наль DK ромба AKFD яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла ADC.

Поскольку су­ще­ству­ет точка, равноудалённая от всех вер­шин четырёхугольника, четырёхугольник можно впи­сать в окружность. Четырёхугольник впи­сан в окружность, следовательно, суммы про­ти­во­по­лож­ных углов равны 180°:

Отрезки  и  равны как ра­ди­у­сы окружности, по­это­му тре­уголь­ни­ки  и  — равнобедренные, от­ку­да  и  Рас­смот­рим тре­уголь­ник  сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, от­ку­да  По тео­ре­ме си­ну­сов найдём сто­ро­ну  из тре­уголь­ни­ка 

Сторона  — диа­метр опи­сан­ной окружности, по­это­му