Выпускники подарят 7 роз классному руководителю, 7 роз директору и по 3 розы оставшимся 15 учителям, т. е. еще 45 роз, всего 59 роз. Всего они потратят 59  35 = 2065 рублей.

Из графика видно, что наибольшей цена была 10 сентября (см. рисунок).

Площадь фигуры равна трем четвертым площади круга, радиус которого равен  см. Поэтому

 см².

Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,5 · 0,34 = 0,17.

Квадраты чисел равны, если сами числа равны или противоположны. Поэтому:

Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его площади к полупериметру. Пусть площадь равна S, периметр равен P, радиус окружности равен R. Тогда

Поэтому S = 75.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой  их угловые коэффициенты равны. Поэтому абсцисса точки касания находится из уравнения :

Площадь пирамиды равна

Полупериметр основания p = 20, апофему h найдем по теореме Пифагора:  Тогда площадь поверхности пирамиды

Выполним преобразования:

Найдем скорость груза через 32 секунды после начала колебаний:

Найдем кинетическую энергию груза через 32 секунды после начала колебаний:

Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Пройденный путь равен 120 + 100 + 110  =  330 км. Средняя скорость автомобиля равна

 км/ч.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке  заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение: 

Уравнение равносильно системе:

Уравнение  решений не имеет. Из уравнения  учитывая, что  получаем:   или 

Сразу отметим, что в окружности радиуса R расстояние от центра до хорды (то есть до середины хорды) длиной  равно  Поэтому расстояния от центров оснований до хорд равны 5 и 12.

а) Пусть A и  — середины хорд, B — проекция  на другое основание цилиндра. Тогда   поэтому следует выбирать знак , что как раз и означает, что хорды лежат по разные стороны от центров оснований, поэтому центры лежат по разные стороны от плоскости.

б) Указанные две плоскости пересекаются по хорде, содержащей точку A, при этом AB перпендикулярна этой хорде, следовательно и  тоже. Поэтому

Пусть , решим рациональное неравенство:

Вернёмся к исходной переменной, получим:   

Ответ: 

а) Пусть E — середина KC. MC = MA, KC = AE, , значит, 

Тогда ME — медиана прямоугольного треугольника CMK, проведенная из вершины прямого угла. Значит,  Следовательно, 

б) Из прямоугольных треугольников ABC и KBC находим, что

 

Через вершину A проведем прямую, параллельную BC. Пусть T — точка пересечения этой прямой с прямой MK, а D — точка пересечения прямой BK с прямой AT.

Из равенства треугольников AMT и BMP получаем, что  а из подобия треугольников CKP и AKT следует, что  Значит, B — середина CP.

Треугольник AKD подобен треугольнику CKB с коэффициентом поэтому  а так как , AD — средняя линия треугольника BQP. Значит, 

Следовательно, 

Пусть первоначальный вклад равен S млн рублей. Тогда в конце первого года вклад составит 1,1S, а в конце второго — 1,21S. В начале третьего года вклад составит 1,21S + 2, а в конце — 1,331S + 2,2. В начале четвёртого года вклад составит 1,331S + 4,2, а в конце — 1,4641S + 4,62.

По условию, нужно найти наибольшее целое S, для которого выполнено неравенство

откуда  Наибольшее целое решение этого неравенства — число 7. Значит, размер первоначального вклада составляет 7 млн рублей.

Рассмотрим функции  и  Количество решений исходного уравнения равно количеству точек пересечения графиков данных функций. Определим, при каких a графики будут иметь более двух общих точек на открытом луче 

Уравнение  задает семейство прямых, проходящих через точку  с угловым коэффициентом, равным a. Изобразим эскиз графика функции f (см. рис.) и заметим, что при  графики не имеют общих точек на промежутке 

Рассмотрим положительные значения параметра. Если угловой коэффициент прямой  меньше, чем у прямой n, или больше, чем у прямой m, то на промежутке  графики будут иметь ровно одну общую точку. Если прямая совпадает с прямой n или с прямой m, то графики будут иметь ровно две общие точки. Графики имеют три общие точки, а исходное уравнение имеет три положительных решения, если прямые  лежат внутри острого угла, образованного прямыми nи m. Найдем граничные значения параметров, соответствующие этим прямым.

Прямая n проходит через точку  тогда  откуда находим  Заметим, что на луче  функция f принимает вид  и что прямая n вторично пересекает график f в точке 

Прямая m касается ветви гиперболы  Касательная к гиперболе имеет с ней единственную общую точку, поэтому уравнение  или  имеет единственное решение. Чтобы квадратное относительно уравнение имело единственный корень, его дискриминант  должен быть равен нулю, отсюда 

При найденном значении параметра точка касания С имеет координаты  она действительно лежит между точками A и B как показано на рисунке, иначе оказалось бы, что рисунок неверен, и потребовалось бы рассмотреть соответствующую конфигурацию.

Итак, при  исходное уравнение будет иметь более двух корней на 

а)

б) Заметим, что сумма чисел на доске увеличивается на  или  (поскольку число 1 на доске никогда не появится). Значит, после 49 ходов сумма станет минимум  Поэтому после пятидесятого хода  В то же время  и  потому что левая часть нечетна, а правая четна.

в) После хода разность чисел становится равна  или  Поэтому модуль разности чисел меняется на 1. Изначально он был равен 1, поэтому после 2015 ходов он будет четным. Значит, равен как минимум двум.

Приведем пример. Первым ходом получим пару (5;3), а затем каждые два хода будем получать ситуацию, в которой числа отличаются на 2 (и никогда в процессе не будут равны):

Повторяя эти действия, получим в итоге два числа с разностью 2.