Рост человека составляет (5 · 12 + 11) · 2,54 = 180,34 см. Округляя, получаем 180 см.

Из графика видно, что 9 августа наибольшая температура составляла 27 °C, а наименьшая 18 °C. Их разность составляет 9 °C.

Проведем высоту  из точки  на сторону  Тогда, принимая во внимание, что , получим:

На циферблате между восемью и одиннадцатью часами три часовых деления. Всего на циферблате 12 часовых делений. Поэтому искомая вероятность равна:

Последовательно получаем:

Имеем:

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная отрицательна в точках −2, 4, равна нулю в точке −1, положительна в точке 3. Тем самым значение производной наибольшее в точке 3.

Объем конуса равен

,

где   — площадь основания, а   — высота конуса. При уменьшении высоты в 3 раза объем конуса также уменьшится в 3 раза.

Используем формулу косинуса двойного угла :

Задача сводится к решению неравенства  на интервале  при заданных значениях площади контура  и постоянной  Тл/с :

Пусть велосипедист ехал из А в В со скоростью  км/час, тогда обратно он ехал со скоростью  км/час. Разность времен на пути туда и обратно составляет 8 часов, откуда имеем:

Искомая скорость велосипедиста на обратном пути на 8 км/час больше, поэтому она равна 16 км/час.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Найденная производная неотрицательна на отрезке (0; 1] и неположительна на отрезке [1; 4]; заданная функция возрастает на отрезке [0; 1] и убывает на отрезке [1; 4]. В точке 1 функция принимает наибольшее значение. Найдем его:

Уравнение равносильно системе:

Уравнение  решений не имеет. Учитывая, что  получаем: 

а) Для построения сечения опустим перпендикуляры AM и BN на второе основание цилиндра. Отрезки AM и BN параллельны и равны, значит, ABNM — параллелограмм. Так как прямые AM и BN перпендикулярны основаниям цилиндра и, в частности, прямой AB, параллелограмм ABNM является прямоугольником. Отрезки AN и BM равны как диагонали прямоугольника, что и требовалось доказать.

б) Площадь прямоугольника ABNM равна 9 · 2 = 18. Пусть H — точка пересечения отрезков NM и CD. Отрезок OH равен  Высота CH пирамиды CABNM равна Следовательно, объём пирамиды CABNM равен:

Левая часть неравенства определена при , при этих значениях переменной неравенство принимает вид:

 

Учитывая ограничение , получаем . При найденных значениях переменной правая часть исходного неравенства определена, поэтому все они входят в ответ.

а) Заметим, что  так как линия центров  содержит биссектрисы равнобедренных треугольников  и 

Тогда  и  Значит,  по двум углам.

б) Из равенства углов  следует параллельность прямых: Поэтому, учитывая, что  получаем:  Значит,  а AE — диаметр окружности.

Равнобедренные треугольники  и  подобны, поскольку

Значит,  откуда 

Продавать свеклу более выгодно, поэтому второе поле, где ее урожайность выше, следует засадить только свеклой. Она принесет доход 10 га · 400 ц/га · 11 000 руб./ц = 44 млн руб.

На первом поле урожайность свеклы составляет 300/400 = 0,75 урожайности картофеля, а стоимость свеклы составляет 11 000/10 000 = 1,1 стоимости картофеля. Произведение этих показателей меньше 1, поэтому выращивать картофель выгоднее: потери от меньшей стоимости компенсируются более высокой урожайностью. Следовательно, все поле следует засеять картофелем, он принесет доход 10 га · 400 ц/га · 10 000 руб./ц = 40 млн руб.

Тем самым, наибольший возможный доход фермера равен 84 млн руб.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим четыре случая:

1) Если  и  то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт пару прямых  и  Случаю удовлетворяют отрезки внутри квадрата  с вершиной в начале координат.

2) Если  и  то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт параболу  Случаю удовлетворяет только дуга ниже оси Ox.

3) Если  и  то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт параболу  Случаю удовлетворяет только дуга левее оси Oy.

4) Если  и  то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт прямую  Случаю удовлетворяют лучи вне квадрата  с вершиной в начале координат.

Точки    являются точками пересечения полученных парабол с полученными прямыми и лежат на прямых  и/или  поэтому искомое множество состоит из прямой l, задаваемой уравнением  отрезка AB прямой  дуги  параболы  с концами в точках B и C и дуги  параболы  с концами в точках A и C (см. рис.)

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямую AB или совпадающую с ней.

Заметим, что при a = 0 прямая m касается парабол  и  в точке C.

При a = 1 прямая m содержит отрезок AB, то есть исходная система имеет бесконечное число решений.

При a = 0 прямая m касается дуг  и  в точке C, пересекает прямую l в точке C и не пересекает отрезок AB, то есть исходная система имеет одно решение.

При  прямая m не пересекает отрезок AB, пересекает прямую l в точке, отличной от точки C, и пересекает каждую из дуг  и  в одной точке, отличной от точки C, то есть исходная система имеет три решения.

При  или  прямая m пересекает прямую l в одной точке и не пересекает дуги  и  и отрезок AB, то есть исходная система имеет одно решение.

Значит, исходная система имеет более двух решений при 

а) Например, если 20 студентов писали обе контрольные работы и получили по 18 баллов за каждую, 4 студента писали только первую контрольную работу и получили по 0 баллов, 4 студента писали только вторую контрольную работу и получили по 0 баллов, то средний балл по каждой из контрольных работ в отдельности составил 15, а 

б) Поскольку средние баллы по каждой контрольной в отдельности равны 15, средний балл по обеим контрольным работам тоже равен 15. Всего было написано 28 + 2 = 30 контрольных работ. Значит, общее количество набранных студентами баллов равно  При этом сумма наивысших баллов равна 13 · 28 = 364. Следовательно, сумма наименьших баллов, набранных двумя студентами, писавшими обе работы, равна 450 − 364 = 86. Но сумма наименьших баллов двух студентов не может превосходить 40. Противоречие.

в) Пусть k — количество студентов, писавших обе контрольные работы, a — сумма баллов студентов, которые писали только одну контрольную работу, b — сумма наибольших баллов студентов, которые писали обе контрольные работы, c — сумма наименьших баллов студентов, которые писали обе контрольные работы.

Тогда сумма всех набранных баллов:  сумма наивысших баллов  Тогда  С другой стороны, , поэтому  откуда 

Приведём пример, когда  то есть если    Например, 11 студентов написали обе контрольные работы на 20 баллов, один студент написал обе контрольные, получив за первую 20 баллов, а за вторую 16 баллов, 8 студентов писали только первую контрольную, причем 3 из них написали ее на 20 баллов, а 5 из них — на 0 баллов, и 8 студентов писали только вторую контрольную, каждый на 8 баллов. Тогда обе контрольные писали по 20 студентов, набрав за первую 3 · 20 + 12 · 20 = 300 баллов и за вторую 8 · 8 + 11 · 20 + 16 = 300 баллов.