Поскольку 1 миля равна 1609 м, 50 миль/ч составляют 50·1609 м/ч = 80450 м/ч = 80,45 км/ч.

Из графика видно, что наибольшая цена золота за указанный период составила 1010 рублей. (см. рисунок).

Заданный четырёхугольник является квадратом, сторона которого равна гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 2 и 8. По теореме Пифагора легко находим, что эта сторона равна  а значит, площадь квадрата равна 68

Всего в семинаре принимает участие  ученых, значит, вероятность того, что ученый, который выступает восьмым, окажется из Испании, равна

Решим уравнение:

Значениям  соответствуют большие положительные корни.

Если , то  и 

Если , то  и 

Значениям  соответствуют меньшие значения корней.

Наименьшим положительным решением является 4.

Средняя линия треугольника отсекает от него подобный треугольник с коэффициентом 0,5. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому площадь отсеченного треугольника вчетверо меньше площади исходного. Таким образом, площадь треугольника CDE равна 34.

Положительным значениям производной соответствует интервалы, на которых функция  возрастает. На них лежат точки Таких точек 5.

отрезок  высотой треугольной пирамиды , ее объем выражается формулой

Таким образом,

Выполним преобразования:

Найдем скорость груза через 10 секунд после начала колебаний:

Найдем кинетическую энергию груза через 10 секунд после начала колебаний:

Процентная концентрация раствора (массовая доля) равна  Пусть масса получившегося раствора  Таким образом, концентрация полученного раствора равна:

Найдем производную заданной функции:  Уравнение  не имеет решений, производная положительна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является возрастающей.

Следовательно, наименьшим значением функции на заданном отрезке является

а) Преобразуем уравнение:

б) Отбор корней произведём с помощью единичной окружности. Отрезку принадлежат корни  и 

Площадь основания пирамиды равна 144 − 108 = 36, поэтому AB = 6. Площадь боковой грани равна  Пусть SM — высота грани SAB. Тогда

поэтому SM = 9.

а) Пусть SH — высота пирамиды. Тогда H — середина основания пирамиды. Значит, SH — прямая, по которой пересекаются данные плоскости. Прямая SH перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости основания пирамиды, в том числе и прямым AH и MH. Значит, угол между плоскостями SAC и SMH — это угол AHM, который равен 45°.

б) Имеем  Тогда 

Преобразуем неравенство, используя свойство логарифма:

Пусть = t, тогда:

Вернемся к исходной переменной, получим:

а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому AO и BO — биссектрисы углов BAD и ABC. Сумма этих углов равна , поэтому сумма углов BAO и ABOравна 

Аналогично,  Тогда 

Следовательно, 

б) Окружность радиуса R, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD, касается ее сторон AB, BC, CD и AD в точках  соответственно. Тогда AKON и BKOL — квадраты, поэтому   Значит,

Отрезок  — высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, поэтому  то есть  Откуда находим, что  Следовательно, площадь трапеции равна:

Пусть 15-го числа 30-го месяца долг составит B тысяч рублей. По условию, долг перед банком (в тыс. рублей) по состоянию на 15-е число должен уменьшаться до нуля следующим образом:

Первого числа каждого месяца долг возрастает на 2%, значит, последовательность размеров долга (в тыс. рублей) по состоянию на 1-е число такова:

Следовательно, выплаты (в тыс. рублей) должны быть следующими:

Всего следует выплатить

откуда 

Значит, 15-го числа 30-го месяца долг составит 200 тыс. рублей.

Возведем в квадрат:

Неравенство  задает на координатной плоскости «верхнюю» полуплоскость с границей  а уравнение  при  ― окружность с центром  и радиусом  (см. рисунок).

Окружность и полуплоскость не имеют общих точек тогда и только тогда, когда радиус окружности меньше половины диагонали PO квадрата APBO, то есть,  откуда 

При  уравнение, а, следовательно, и вся система решений не имеют, а при решением уравнения является пара  которая не удовлетворяет неравенству 

а) Подходящим примером являются прогрессии 1, 3, 5,... и 1, 4, 7,... Для этих прогрессий имеем

б) Обозначим через c и d разности арифметических прогрессий  и  соответственно. Тогда:

Если  то  Пришли к противоречию, ведь по условию 

в) По условию  По доказанному в пункте (б) имеем:  Значит,

то есть  Покажем, что случай  возможен. Это равенство выполняется, например, для прогрессий 5, 6, 7, 8,... и 12, 13, 14, 15,... Для этих прогрессий  и