На 181 человека на 1 день полагается 181 · 40 = 7240 г сахара, на 5 дней — 7240 · 5 = 36 200 г. Разделим 36 200 г на 1000 г в одной упаковке:

Тем самым, на весь лагерь на 5 дней 36 упаковок не хватит, следовательно, понадобится 37 килограммовых упаковки сахара.

Из графика видно, что наименьший курс доллара за указанный период составил 29,6 рублей. (см. рисунок).

На третий день запланировано  выступлений. Значит, вероятность того, что выступление представителя из России окажется запланированным на третий день конкурса, равна

Возведем в квадрат:

Cумма углов в выпуклом четырехугольнике равна 360 градусам, следовательно,

Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной. Производная меняет знак в точках −7, 3, 5. Тем самым, на отрезке [−4; 10] функция имеет 2 точки экстремума.

Радиус основания конуса r равен половине диагонали квадрата ABCD:   Тогда для объема конуса, деленного на  имеем:

Поскольку угол альфа лежит в первой четверти, его синус положителен. Тогда

Найдём, при каком ускорении гонщик достигнет требуемой скорости, проехав один километр. Задача сводится к решению уравнения  при известном значении длины пути  км:

 км/ч².

Если его ускорение будет превосходить найденное, то, проехав один километр, гонщик наберёт большую скорость, поэтому наименьшее необходимое ускорение равно 5000 км/ч².

Пусть  км/ч — скорость второго теплохода, тогда скорость первого теплохода равна  км/ч,  Первый теплоход находился в пути на 1 час больше, чем второй, отсюда имеем:

Таким образом, скорость второго теплохода равна 19 км/ч.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке  заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:

а) Имеем:

 

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку  Получим числа: 

а) Проведём отрезок , параллельный  Пусть  — точка пересечения отрезков  и  Треугольник  прямоугольный с прямым углом при вершине  Это следует из равенства треугольников  и  Значит, прямые  и перпендикулярны. Прямые  и  перпендикулярны, так как прямая перпендикулярна плоскости  Поэтому прямая  перпендикулярна плоскости , и, следовательно, прямая  перпендикулярна прямой 

б) Указанное сечение — прямоугольник  Его площадь равна 

Преобразуем неравенство:

откуда получаем, что 

Пусть на первый объект будет направлено х рабочих, суточная зарплата которых составит  Тогда на второй объект будет направлено  рабочих — суточная заработная плата составит  В день начальник будет должен платить рабочим  у. е.

Рассмотрим функцию  при  Это квадратичная функция, старший коэффициент положителен, следовательно, она имеет наименьшее значение при x₀ = 4,8. Заметим, что точка минимума не является натуральным числом, поэтому исследуемая функция достигает наименьшего значения в точке 4 или в точке 5. Найдем и сравним эти значения:

Тем самым, на множестве натуральных значений аргумента наименьшее значение функции достигается в точке 5. Поэтому необходимо направить 5 рабочих на первый объект, 19 рабочих — на второй объект. Зарплата рабочих составит 461 у. е.

Первому уравнению системы удовлетворяют те и только те точки , которые лежат на отрезке AB прямой, соединяющей точки  и , где , поскольку уравнение задаёт множество точек  сумма расстояний от каждой из которых до точек А и В равна , что равно длине отрезка АВ.

Второму уравнению системы удовлетворяют те и только те точки , которые лежат на прямой  параллельной оси абсцисс и проходящей через точку С

Отсюда следует, что условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда точка С лежит между точками О и В, причём если точка С совпадает с точкой А или с точкой В, то условие задачи выполнено.

Решим неравенство  Имеем

а) Пусть  Тогда 

б) Предположим, что  Тогда

С другой стороны,  Следовательно, числа  и  имеют разные знаки и не могут быть равны. Пришли к противоречию.

в) Из условия следует, что  и  Значит,  Отсюда, учитывая, что число b целое, получаем, что  Используя неравенства  получаем:

Пусть  Тогда  Следовательно, наименьшее возможное значение дроби  равно