Налог на зарплату Ивана Кузьмича составит 17 500 · 0,13 = 2275 рублей. Значит, после вычета налога на доходы он получит: 17 500 − 2275 = 15 225 рублей.

Из графика видно, что сила натяжения достигает 150 кгс при угле наклона 45 градусов.

Площадь заштрихованного сектора равна  площади всего круга. Следовательно, его площадь равна 0,25·17 = 4,25.

Всего в семинаре принимает участие  ученых, значит, вероятность того, что ученый, который выступает третьим, окажется из Швеции, равна

Если две дроби с равным знаменателем равны, то равны их числители. Имеем:

Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади к полупериметру:

По определению первообразной на интервале (−2; 4) справедливо равенство

Следовательно, решениями уравнения f(x) = 0 являются точки экстремумов изображенной на рисунке функции F(x) Из них на отрезке [−1; 3] лежат 8 точек. Таким образом, на отрезке [−1; 3] уравнение f(x) = 0 имеет 8 решений.

Основанием пирамиды, объем которой нужно найти, является боковая грань параллелепипеда, а ее высотой является ребро  Поэтому

Выполним преобразования:

Подставим значения в формулу:

Пусть скорость второго автомобиля равна  км/ч. За 1/2 часа первый автомобиль прошел на 22 км больше, чем второй, отсюда имеем

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной на заданном отрезке:

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке  заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

а) Пусть  тогда исходное уравнение запишется в виде  откуда  или 

При  получим:  значит,  что невозможно.

При  получим:  значит,  откуда  или 

б) C помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку 

Получим числа: 

а) Отметим точку L — середину AB, O — основание высоты пирамиды, опущенной из вершины S (точка пересечения медиан треугольника ABC), K — точку пересечения SL и MN(очевидно, их общую середину) и  — основание перпендикуляра из K на плоскость ABC. Поскольку  и  то  — средняя линия треугольника SOL, поэтому

откуда  Осталось заметить, что  это и есть искомая точка пересечения прямой и плоскости.

б) Проведем через  прямую, параллельную AB. Обозначим ее точки пересечения со сторонами AC и _BC за  и  соответственно. Тогда  — искомое сечение, причем  поэтому это трапеция.

Ее основания равны  и  а высота

Значит 

Прежде всего заметим, что неравенство определено при  Преобразуем его:

Тогда множество решений неравенства: 

а) Площадь треугольника A₁MB₂ в два раза меньше площади треугольника A₁MB, поскольку MB = 2MB₂, а высота, проведённая из вершины A₁, у этих треугольников общая:

Аналогично получаем ещё 5 равенств:

Складывая эти равенства почленно, получаем

б) Обозначим длины сторон BC, AC, AB треугольника ABC через a, b, c.

Докажем, что квадрат медианы AA₁ равен  Для доказательства на продолжении отрезка AA₁ за точку A₁ отложим отрезок A₁P = AA₁. Получим параллелограмм ACPB со сторонами AC = PB = b и AB = CP = c и диагоналями BC = a и AP = 2AA₁. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:

 откуда  Аналогично доказывается, что  а 

Отрезок C₁A₂ — средняя линия треугольника ABM, значит,

Рассуждая аналогично, мы получим, что стороны шестиугольника втрое меньше медиан треугольника 

Следовательно, сумма квадратов сторон шестиугольника равна

Подставляя в эту формулу длины сторон треугольника ABC, получаем ответ: сумма квадратов сторон шестиугольника равна 

По условию долг уменьшается по арифметической прогрессии:

Первая выплата равна 

Вторая выплата равна 

Третья выплата равна 

Четвертая выплата равна  и так далее.

Значит, наибольшая выплата — первая, d = 2, выплат — 14 штук и они составляют арифметическую прогрессию, но с разностью 

Общая выплата равна 

Рассмотрим две функции:  и 

Поскольку  получаем :

Функция  является кусочно-линейной функцией, причем при  угловой коэффициент равен либо либо  а при  угловой коэффициент равен либо  либо  Значит, функция  возрастает при  и убывает при  поэтому 

Исходное уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда 

Значит, либо   либо 

Исходное уравнение имеет хотя бы один корень при  и при  и не имеет корней при других значениях 

а) Да. Пусть в классе учится 29 человек, из которых сперва 14 человек решили первую задачу (меньшая часть класса), а затем их стало 15 (большая часть класса).

Замечание: подойдет любой пример с нечетным количеством учеников от 21 до 29 и количествами решивших и не решивших первую задачу, отличающимися на 1.

б) Да. Пусть в классе было 30 учеников, из которых ровно 2 решили первую задачу. Тогда исходно процент учеников, решивших первую задачу был нецелым , а после перемены, когда решивших станет 3, процент решивших будет целым.

Замечание: Есть и другие примеры, например, 11 учеников из 24 поняли доказательство на уроке.

в) Пусть всего в классе n учеников, а количество решивших первую задачу равно k. Очевидно, k не меньше 1, так как один ученик решил задачу верно и доказал это на перемене. Тогда искомый процент равен  Чтобы это число было как можно меньшим, требуется минимализировать дробь  при условии, что 

Докажем, что наименьшее значение дроби  равно 4. Результат 4 достигается, если 

1) Если  то очевидно, что 

2) Если  то либо k = 1, что не подходит, так как дроби  не являются натуральными числами, либо  и в этом случае 

Таким образом, 4 – наибольшее целое значение искомого процента.