Разговор с Вовой стоил Жене 74 − 41 = 33 рубля. Разделим 33 на 1,5:

Значит, разговор с Вовой длился 22 минуты.

Расположим страны в порядке убывания средних баллов.

1) Германия

2) США

3) Австралия

4) Швеция

5, 6) Норвегия, Великобритания

7) Болгария

8) Румыния

9) Тунис

10) Индонезия

Швеция находится на четвёртом месте.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Поэтому

 см².

Перейдем к одному основанию степени:

Имеем:

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой или совпадает с ней, её угловой коэффициент равен −4. Следовательно, мы ищем точку, в которой угловой коэффициент равен −4, а значит, и производная равна −4. Поэтому искомая точка 

Рассмотрим осевое сечение конуса. По теореме Пифагора

Выполним преобразования:

Задача сводится к решению уравнений  при заданном значении :

Таким образом, высота, с которой горизонт виден на рассстоянии 28 километров, равна 0,06125 километра.

Пусть  литров — объем воды, пропускаемой первой трубой в минуту, тогда вторая труба пропускает  литров воды в минуту. Резервуар объемом 110 литров первая труба заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров, отсюда имеем:

Значит, первая труба пропускает 10 литров, а вторая — 11 литров воды в минуту.

Найдем производную заданной функции:

На заданном промежутке (первая четверть без граничных точек) синус не обращается в нуль и принимает только положительные значения. Поэтому единственный нуль производной — число 0,5.

Определим знаки производной: она положительна при x < 0,5 и отрицательна при x > 0,5. Поэтому искомая точка максимума — число 0,5.

а) Пусть  — середина ребра ,  — середина отрезка . В равнобедренных треугольниках  и  медианы  и  являются биссектрисами и высотами. Следовательно, точки ,  и  лежат на одной прямой. Треугольник равнобедренный, так как треугольники  и  равны, а значит,  = . В треугольниках  и  высотами служат отрезки  и  соответственно. Из того, что отрезок  перпендикулярен отрезку  и отрезку  следует, что прямая перпендикулярна плоскости , но перпендикуляр к плоскости перпендикулярен любой прямой, лежащей в ней, следовательно, прямые  и  перпендикулярны.

б) Из решения предыдущего пункта видно, что плоскость  перпендикулярна плоскостям  и , а потому  искомый.

Найдём стороны треугольника .

Ясно, что  и 

В треугольнике  имеем:

Из треугольника  по теореме косинусов находим

Следовательно, 

Из треугольника  по теореме косинусов находим 

Заменим  получим  Определим область допустимых значений:

Решаем с помощью метода декомпозиции, то есть представляем логарифм в виде

получим неравенство:

Расставим точки на числовой прямой и определим знаки данного выражения на каждом из промежутков:

Учитывая область допустимых значений, получим ответ: 

а) Площадь треугольника А₁МВ₂ в два раза меньше площади треугольника А₁МВ, поскольку MB = 2MB₂, а высота, проведённая из вершины А₁ у этих треугольников общая: S_A1MB = 2SA₁MB₁.

Аналогично получаем еще 5 равенств:

Складывая эти равенства почленно, получаем 

б) Обозначим длины сторон ВС, АС, АВ треугольника ABC через а, b, с.

Докажем, что квадрат медианы AA₁ равен 

Для доказательства на продолжении отрезка AA₁ за точку А₁ отложим отрезок А₁Р = AA₁. Получим параллелограмм АСРВ со сторонами АС = РВ = b и АВ = CP = си диагоналями ВС& а и АР = 2AA₁. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:

Аналогично доказывается, что  a Отрезок C₁A₂ — средняя линия треугольника АВМ, значит,

Рассуждая аналогично, мы получим, что стороны шестиугольника втрое меньше медиан треугольника ABC:  Следовательно, сумма квадратов сторон шестиугольника равна

Подставляя в эту формулу длины сторон треугольника ABC, получаем ответ: сумма квадратов сторон шестиугольника равна 

Максимальная сумма на счетё будет в случае, если Василий все три раза воспользуется правом дополнительно внести 133 000 рублей на счёт.

1. После первого года хранения вклада:

Сумма вклада возрастает до 1 000 000 · 1,1 = 1 100 000 (р);

Дополнительное пополнение счета 1 100 000 + 133 000 = 1 233 000 (р);

2. После второго года хранения вклада:

Сумма вклада возрастает до 1 233 000 · 1,1 = 1 356 300 (р);

Дополнительное пополнение счета 1 356 300 + 133000 = 1 489 300 (р);

3. После третьего года хранения вклада:

Сумма вклада возрастает до 1 489 300 · 1,1 = 1 638 230 (р);

Дополнительное пополнение счета 1 638 230 + 133 000 = 1 771 230 (р);

4. После четвертого года хранения вклада:

Сумма вклада возрастает до 1 771 230 · 1,1 = 1 948 353 (р).

Пусть  тогда получим:

Значит, решение исходного уравнения — это решение уравнений  или 

Исследуем сколько решений имеет уравнение  в зависимости от  и  При  и , и  то есть при  левая часть определена и принимает вид

При  выражение  принимает по одному все значения из промежутка  для  и принимает по одному разу все значения из промежутка  для  Значит, при  выражение  принимает по одному разу все значения из промежутка  при  и принимает по одному разу все значения из промежутка  при  Таким образом, уравнение  имеет одно решение при  и не имеет решений при  и  При  и  уравнение принимает вид  и либо имеет бесконечно много решений, либо не имеет решений.

Уравнение  и  могут иметь общие решения при то есть при  При  оба уравнения принимают вид  и имеют одно решение.

При других значениях  исходное уравнение имеет два решения, если оба уравнения  имеют по одному решению. Получаем систему неравенств:

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения при  принадлежащем множеству 

а) Да, например, при попадании в утроение сектора 20, утроение сектора 19 и центральный сектор 50 получаем:60 + 57 + 50 = 167.

б) Наибольшее количество очков, которое может набрать игрок одним броском ― 60 (утроение 20), далее идут: 57 очков (утроение 19) и 54 очка (утроение 18). Попадание во все остальные сектора и зоны дает меньше 54 очков. Если все шесть бросков были по 60 очков, то игрок набрал 360 очков, что больше 356. Если хотя бы один бросок на 60 очков заменить броском на 54 очка или меньше, то сумма уменьшится как минимум на 6, а, значит, станет не больше 354 очков, что меньше 356 очков. Следовательно, бросок на 60 очков можно заменять только броском на 57 очков. Но одна такая замена дает итоговый результат 357 очков, а хотя бы две замены ― не более 354 очков. Значит, 356 очков шестью бросками набрать невозможно.

в) Как было показано в пункте б) каждый бросок приносит игроку не более 60 очков. Значит, за 16 бросков он наберет не более 960 очков, а тогда для того, чтобы набрать 1001 очко понадобится не менее 17 бросков.

Покажем, что игрок может набрать 1001 очко за 17 бросков. Предположим, что он сделал 15 бросков на 60 очков (итого 900), один бросок в зону утроения сектора 17 (51 очко) и один бросок в центральный сектор 50 очков. Тогда в сумме он наберет 900 + 51 + 50 = 1001 очко.