а) Площадь треугольника А₁МВ₂ в два раза меньше площади треугольника А₁МВ, поскольку MB = 2MB₂, а высота, проведённая из вершины А₁ у этих треугольников общая: S_A1MB = 2SA₁MB₁.

Аналогично получаем еще 5 равенств:

Складывая эти равенства почленно, получаем 

б) Обозначим длины сторон ВС, АС, АВ треугольника ABC через а, b, с.

Докажем, что квадрат медианы AA₁ равен 

Для доказательства на продолжении отрезка AA₁ за точку А₁ отложим отрезок А₁Р = AA₁. Получим параллелограмм АСРВ со сторонами АС = РВ = b и АВ = CP = си диагоналями ВС& а и АР = 2AA₁. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:

Аналогично доказывается, что  a Отрезок C₁A₂ — средняя линия треугольника АВМ, значит,

Рассуждая аналогично, мы получим, что стороны шестиугольника втрое меньше медиан треугольника ABC:  Следовательно, сумма квадратов сторон шестиугольника равна

Подставляя в эту формулу длины сторон треугольника ABC, получаем ответ: сумма квадратов сторон шестиугольника равна