Математика (проф. ур.) (Вариант 9)
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 6, а сторона основания равна 4. На продолжении ребра SA за точку A отмечена точка P, а на продолжении ребра SB за точку B — точка Q, причём AP = BQ = SA.
а) Докажите, что прямые PQ и SC перпендикулярны друг другу.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и CPQ.
Ответ
/Tablitsy%20s%20formulami/Stereometriya.jpg)
— середина ребра 
, 
— середина отрезка 
. В равнобедренных треугольниках 
и 
медианы 
и 
являются биссектрисами и высотами. Следовательно, точки 
, 
равнобедренный, так как треугольники 
и 
равны, а значит, 
= 
. В треугольниках 
и 
и 
соответственно. Из того, что отрезок 
, но перпендикуляр к плоскости перпендикулярен любой прямой, лежащей в ней, следовательно, прямые 
перпендикулярны.
перпендикулярна плоскостям 
искомый.
.
и 
имеем:
по теореме косинусов находим
/%D0%9A%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%BA%D0%B8%20%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2/%D0%BC2%20%D0%B2%D0%B0%D1%80/mp_-2_14.svg)
Предложения 2,3,4 передают второстепенную информацию.
Ответ: 15.