(C7). Числа и их свойства1. Онлайн тесты

Математика (проф. ур.) ((C7). Числа и их свойства1)

<< Назад к предметам / Назад к вариантам

Вопрос 19

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз меньше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Заметили ошибку в тексте?
Выделите её и нажмите Ctrl + Enter

Пояснение Завершить тест

Пусть исходные числа равны $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ и пусть суммы цифр, стоящих в разряде единиц и десятков, соответственно $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$

а) Решим систему уравнений:

$\text{[math]}$

Примером исходного набора чисел может быть 70 двузначных чисел, заканчивающихся единицей, сумма десятков которых дает 290. Например, это 68 чисел 41 и два числа 91 или 50 чисел 51 и 20 чисел 21. Ещё пример (его можно построить, обратив внимание, что сумма десятков примерно в 4 раза больше суммы единиц): 32 раза число 92 и число 26.

б) Решим систему уравнений:

$\text{[math]}$

Поскольку нулей в записи чисел нет, сумма цифр, стоящих в разряде единиц, не меньше количества чисел. Тем самым, чисел не больше 30. Но тогда сумма цифр, стоящих в разряде десятков, не может быть больше 270. Противоречие.

Иначе: поскольку в записи нет нулей, а цифры в разряде десятков не превышают 9, справедливы соотношения: $\text{[math]}$ то есть $\text{[math]}$ что противоречит полученной системе, в которой $\text{[math]}$

в) Требуется определить, для какого наименьшего S имеет решения система уравнений

$\text{[math]}$

Из полученной системы следует, что величина S кратна 9 и 11 то есть кратна 99. Тогда $\text{[math]}$ Тогда

$\text{[math]}$

Наименьшему значению $\text{[math]}$ соответствует наименьшее значение $\text{[math]}$ причем из второго уравнения системы ясно, что $\text{[math]}$ Улучшим оценку: заметим, что $\text{[math]}$ откуда $\text{[math]}$ тогда

$\text{[math]}$

и, тем самым, $\text{[math]}$

Если $\text{[math]}$ то: $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ заданным набором чисел, например, являются 30 чисел 91, 9 чисел 21 и число 51, сумма чисел в наборе равна $\text{[math]}$

Ответ: а) например, 32 раза число 92 и число 26, б) нет, в) 693.