Скорость сближения Алексея и Жучки (разность скоростей) Δv = 9 км/ч. Первоначальная разность расстояний между хозяином и собакой составляет ΔS = 6 км. Найдем разностное отношение  часа. Это и есть время, которое потребовалось Жучке, чтобы догнать Алексея.

С того времени, как Жучка бежала за хозяином, Алексей прошел расстояние, равное  км. В соответствии с условием задачи Алексей прошел еще 6 км пока Жучка была дома. Значит, в направлении от дома Алексей, будучи на прогулке, прошел  км. Такой же путь Алексей прошел после того, как Жучка догнала его, но в обратном направлении. На преодоление этого пути (со скоростью 4 км/ч) потребовалось  часа. Итак, вся прогулка Алексея продлилась

Эта сумма будет наименьшей, когда сумма двух взаимно обратных положительных выражений  и  примет наименьшее значение. И эта наименьшая сумма заведомо известна, она равна 2 (классическое неравенство  — наименьшее значение достигается при a = 1). Следовательно, в нашем случае должно выполняться равенство  то есть v = 6 км/ч. Время всей прогулки Алексея составляет  часа.

Ответ: 6 км/ч,  часа.