а) Пусть O — отличная от A1 точка пересечения окружностей, описанных около треугольников A1CB1 и A1BC1 (рис. 1).
Тогда
откуда
Значит, следовательно, точки A, B1, O и C1 лежат на одной окружности.
б) Пусть O1, O2 и O3 — центры окружностей, описанных около треугольников B1AC1, A1BC1 и A1CB1 соответственно (рис. 2). Заметим, что как радиусы описанных окружностей около равных треугольников. Значит, треугольники AO1C1 и C1O2B равны. Кроме того, треугольник O2C1O1 также равен этим треугольникам, поскольку
Таким образом, Аналогично, поэтому треугольник O1O2O3 подобен треугольнику ABC с коэффициентом и радиус вписанной в него окружности равен половине радиуса окружности, вписанной в треугольник ABC.
Пусть M — середина BC, а радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен r (рис. 3). Тогда площадь треугольника ABC
C другой стороны, высота равнобедренного треугольника ABC равна поэтому Значит, r = 3. Искомый радиус равен
Ответ: 1,5.