Математика (проф. ур.) ((C2). Стереометрическая задача)
В правильной треугольной призме АВСА′B′C′ сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро АА′ равно 3. На ребре АВ отмечена точка К так, что АК = 1. Точки М и L — середины рёбер А′С′ и В′С′ соответственно. Плоскость γ параллельна прямой АС и содержит точки К и L.
а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости γ;
б) Найдите расстояние от точки С до плоскости γ.
Ответ
/Tablitsy%20s%20formulami/Stereometriya.jpg)
Построим сечение призмы плоскостью γ. а) Проведём КР || АС, 
, CP = 1. Проведём PL, проведём LR || AC, 
Проведём RK. Трапеция LPLR — искомое сечение. Сечение параллельно АС по признаку параллельности прямой к плоскости.
Введём систему координат, как показано на рисунке. В этой системе координат: В(0; 0; 0), С(0; 6; 0), В'(0; 0; 3), C'(0; 6; 3), 
P(0; 5; 0), 
Тогда
Откуда получаем:
Так как 
и 
получаем, что 
Что и требовалось доказать.
б) Далее заметим, что плоскость сечения перпендикулярна вектору 
, найдем уравнение плоскости и вычислим расстояние от точки до плоскости:
Найдём свободный член D в уравнении плоскости 
подставив координаты точки К:
поэтому 
Упростив уравнение плоскости, получим: 
Тогда для искомого расстояния получаем:
/profil/-16/14.svg)