Таким образом, ис­ко­мые числа: 122112, 212112 или 221112.

Пусть число имеет вид . Тогда усло­вие за­пи­сы­ва­ет­ся так:

Так как пер­вая цифра числа не может быть 0, то 

Преобразовав уравнение, получим: 

Так как вто­рое сла­га­е­мое слева де­лит­ся на 10, то 7 в раз­ря­де еди­ниц в этой сумме можно по­лу­чить толь­ко через пер­вое слагаемое. То есть  равно или 3, или −7. Но так как d равно 5, то  может быть толь­ко 3. То есть .

Перепишем уравнение, под­ста­вив a и d и преобразовав:  То есть . От­ку­да

Таким образом, числа, удо­вле­тво­ря­ю­щие усло­ви­ям задачи: 8925, 8815, 8705.

Число де­лит­ся на 5, значит, его по­след­няя цифра или 0, или 5. Но так как при за­пи­си в об­рат­ном по­ряд­ке цифры также об­ра­зу­ют четырёхзначное число, то эта цифра 5, ибо число не может на­чи­нать­ся с 0. Пусть число имеет вид . Тогда усло­вие можно за­пи­сать так:

Второе сла­га­е­мое в левой части де­лит­ся на 10. Значит, за раз­ряд еди­ниц в сумме от­ве­ча­ет толь­ко пер­вое слагаемое. То есть  От­ку­да  Под­ста­вив по­лу­чен­ное зна­че­ние в уравнение, получим, что Пе­ре­брав все пары b и с, ко­то­рые яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­ем этого равенства, вы­пи­шем все числа, яв­ля­ю­щи­е­ся ответом: 7065, 7175, 7285, 7395.

Представим искомое число в виде abcd. Если число делится на 60, то оно также делится на 3 и на 20. Так как сумма цифр искомого числа равна 12, то оно автоматически будет делиться на 3. Число делится на 20 тогда и только тогда, когда число оканчивается на ноль, а предпоследняя цифра четная. Так как число abcd < 3000, то a = 2, а сумма b + c + d = 10, и d должно быть обязательно равно нулю, с — обязательно четное. Рассмотрим все случаи.

Допустим, что с = 0, тогда b = 10, что невозможно в силу 

Допустим, что с = 2, тогда b = 8, откуда следует, что abcd = 2820 — искомое число.

Допустим, что с = 4, тогда b = 6, откуда следует, что abcd = 2640 — искомое число.

Допустим, что с = 6, тогда b = 4, откуда следует, что abcd = 2460 — искомое число.

Допустим, что с = 8, тогда b =2, откуда следует, что abcd = 2280 — искомое число.

Число де­лит­ся на 5, значит, его по­след­няя цифра или 0, или 5. Но так как при за­пи­си в об­рат­ном по­ряд­ке цифры также об­ра­зу­ют четырёхзначное число, то эта цифра 5, потому что число не может на­чи­нать­ся с 0. Пусть число имеет вид . Тогда усло­вие можно за­пи­сать так:

Второе сла­га­е­мое в левой части де­лит­ся на 10. Значит, за раз­ряд еди­ниц в сумме от­ве­ча­ет толь­ко пер­вое слагаемое. То есть  От­ку­да  Под­ста­вив по­лу­чен­ное зна­че­ние в уравнение, получим:  Пе­ре­брав все пары b и с, ко­то­рые яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­ем этого равенства, вы­пи­шем все числа, яв­ля­ю­щи­е­ся ответом: 9605, 9715, 9825, 9935.

Если число делится на 18, то оно делится на 9 и на 2. Если число делится на 2, то оно оканчивается четной цифрой. То есть число должно оканчиваться на 30, 36, 96. Пусть число имеет вид  Необходимо подобрать такие комбинации четных цифр, чтобы сумма всех пяти цифр делилась на 9.

Такими числами являются 63036, 69696.

Если число делится на 12, то оно делится одновременно и на 4, и на 3. Из признака делимости на 4 следует, что число должно быть четным и последние две цифры числа, составляющие новое число, должны делиться на 4. Из признака делимости на 3 следует, что сумма цифр числа должна делиться на 3.

Представим искомое число в виде abcd. По условию a = 3, значит, последняя цифра числа может быть равна или 6, или 8. Рассмотрим все случаи.

Пусть d = 6. Единственное число, удовлетворяющее условию, что каждая следующая цифра должна быть больше предыдущей, — число 3456. Оно удовлетворяет всем условиям.

Пусть d = 8, тогда сумма первой и последней цифр равна 11. Чтобы число делилось на 3, сумма цифр числа должна быть равна или 12, или 15, или 18, или 21, или 24. Среди таких чисел — 3468, 3678. Но число 3678 больше числа 3500, следовательно, не удовлетворяет условию.

Пусть наше число имеет вид . Тогда имеем  И так как число де­лит­ся на 4,  де­лит­ся на 4. Можно заметить, что если среди цифр есть хотя бы три единицы, то ра­вен­ство невозможно, так как сумма будет боль­ше произведения. То же самое, если еди­ниц меньше, чем две. В этом слу­чае произведение будет слиш­ком большое. Таким образом, среди цифр есть ровно две единицы. Рас­смот­рим двузначные числа, ко­то­рые делятся на 4, это кон­цов­ка нашего числа. Нель­зя брать числа с нулём, так как в этом слу­чае произведение будет равно нулю, что плохо.

12: тогда одна из остав­ших­ся цифр 1, а дру­гая — 4.

16: тогда одна из остав­ших­ся цифр 1, а дру­гая никакая не подойдёт.

24: значит, остав­ши­е­ся цифры — единицы. Всё сходится.

Остальные числа будут да­вать слишком боль­шое произведение или нечётную сумму.

Таким образом, ис­ход­ные числа: 1412, 4112, 1124.

Одно из че­ты­рех­знач­ных чисел, крат­ных 44, равно 1012, оно удо­вле­тво­ря­ет условию.