Угол  равен по­ло­ви­не дуги на ко­то­рую он опирается, по­сколь­ку это угол, об­ра­зо­ван­ный ка­са­тель­ной к окруж­но­сти и секущей, проведённой через точку касания. Угол  — вписанный, по­это­му он также равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую опирается. Углы  и  опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу, следовательно, они равны. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  угол  — общий, углы  и равны, следовательно, тре­уголь­ни­ки подобны, от­ку­да  Бис­сек­три­са угла делит сто­ро­ну тре­уголь­ни­ка на отрезки, про­пор­ци­о­наль­ные при­ле­жа­щим сторонам:  Получаем:

Найдём 

Проведём построения и введём обозначения как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники  и  угол C — общий, углы  и  равны друг другу как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, треугольники  и подобны. Откуда  поэтому  Аналогично, из треугольников  и  получаем, что  Таким образом, 

Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке (∠MKP = 54°, ∠KPM = 62°, ∠PMK = 64°). От­рез­ки касательных, проведённые из одной точки равны, по­это­му   Следовательно, тре­уголь­ни­ки    — равнобедренные, по­это­му в каж­дом тре­уголь­ни­ке углы при ос­но­ва­нии равны. Угол  — вписанный, по­это­му он равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую опирается. Угол  об­ра­зо­ван хор­дой и касательной, следовательно, он равен по­ло­ви­не ве­ли­чи­ны дуги, ко­то­рую заключает. Значит, Сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°. Найдём угол 

Аналогично, из тре­уголь­ни­ков  и  получаем,  

Проведём построения и введём обозначения как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники  и  угол C — общий, углы  и  равны друг другу как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, треугольники  и подобны. Откуда  поэтому  Аналогично, из треугольников  и  получаем, что  Таким образом, 

Поскольку су­ще­ству­ет точка, равноудалённая от всех вер­шин четырёхугольника, четырёхугольник можно впи­сать в окружность. Четырёхугольник впи­сан в окружность, следовательно, суммы про­ти­во­по­лож­ных углов равны 180°:

Отрезки  и  равны как ра­ди­у­сы окружности, по­это­му тре­уголь­ни­ки  и  — равнобедренные, от­ку­да  и  Рас­смот­рим тре­уголь­ник  сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, от­ку­да  По тео­ре­ме си­ну­сов найдём сто­ро­ну  из тре­уголь­ни­ка 

Сторона  — диа­метр опи­сан­ной окружности, по­это­му 

Угол BAC равен углу BCP так как  и . Так как тан­генс это от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к прилежащему, имеем:  Тогда  а ги­по­те­ну­за  по тео­ре­ме Пифагора. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию по­ло­ви­ны его пе­ри­мет­ра на ра­ди­ус впи­сан­ной окружности, но пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния катетов, имеем:

Таким образом, а  Так как  то  а  по тео­ре­ме Пифагора.

В тре­уголь­ни­ке  пло­щадь равна про­из­ве­де­нию по­ло­ви­ны его пе­ри­мет­ра на ра­ди­ус впи­сан­ной в него окружности, но пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния катетов, имеем:

Введём обозначения как показано на рисунке. По теореме о касательной и секущей:

Рассмотрим треугольник  по теореме косинусов найдём сторону 

Аналогично из треугольника  найдём сторону 

В треугольнике  стороны  и  равны, следовательно, треугольник  — равнобедренный, откуда Из основного тригонометрического тождества найдём 

Найдём искомый радиус окружности по теореме синусов:

Рассмотрим треугольники  и  они прямоугольные, угол  — общий, следовательно, эти треугольники подобны:

Откуда получаем, что 

Из треугольника  по теореме Пифагора найдём 

Рассмотрим треугольники  и  они прямоугольные, угол  — общий, следовательно, они подобны:  Найдём длину отрезка 

Найдём длину отрезка 

Заметим, что прямая  перпендикулярна прямой  как общая касательная к исходным окружностям. Найдём площадь треугольника 

Найдём радиус описанной около треугольника  окружности:

Поскольку существует точка, равноудалённая от всех вершин четырёхугольника, четырёхугольник можно вписать в окружность. Четырёхугольник вписан в окружность, следовательно, суммы противоположных углов равны 180°:

Отрезки  и  равны как радиусы окружности, поэтому треугольники  и — равнобедренные, откуда  и Рассмотрим треугольник  сумма углов в треугольнике равна 180°, откуда  По теореме синусов найдём сторону  из треугольника 

Сторона  — диаметр описанной окружности, поэтому 

Угол  равен по­ло­ви­не дуги на ко­то­рую он опирается, по­сколь­ку это угол, об­ра­зо­ван­ный ка­са­тель­ной к окруж­но­сти и секущей, проведённой через точку касания. Угол  — вписанный, по­это­му он также равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую опирается. Углы  и  опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу, следовательно, они равны. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  угол  — общий, углы  и равны, следовательно, тре­уголь­ни­ки подобны, от­ку­да  Бис­сек­три­са угла делит сто­ро­ну тре­уголь­ни­ка на отрезки, про­пор­ци­о­наль­ные при­ле­жа­щим сторонам:  Получаем:

Найдём