Две сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны двум сто­ро­нам другого:  и . Рас­смот­рим углы между ними:

Поэтому

.

Углы CBD и BDA равны, как накрест лежащие при параллельных прямых. В треугольниках  и   следовательно, эти треугольники подобны по двум парам пропорциональных сторон и углу между ними.

Проведем от­ре­зок  пер­пен­ди­ку­ляр­ный сто­ро­нам  и  про­хо­дя­щий через точку  Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма  Пло­щадь тре­уголь­ни­ка  . Пло­щадь тре­уголь­ни­ка  Получаем, что сумма пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков  и  равна:

Площадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию сто­ро­ны на высоту, про­ве­ден­ную к этой стороне.

Тогда, с одной стороны, S = AD · BH, а с дру­гой стороны, S = CD · BE. По­сколь­ку BH = BE , получаем, что AD = CD. Следовательно, все сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны, а значит, ABCD — ромб.

Проведём FK па­рал­лель­но AD (см. рис.). Имеем AD = AK = KB, следовательно, па­рал­ле­ло­грамм AKFD яв­ля­ет­ся ромбом. Диа­го­наль DK ромба AKFD яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла ADC.

Продолжим BK до пе­ре­се­че­ния с пря­мой AD в точке F. Заметим, что в тре­уголь­ни­ках FDKи BCK сто­ро­ны CK и DK равны по условию, углы при вер­ши­не K равны как вертикальные, а углы KDF и KCB равны как на­крест лежащие. Значит, тре­уголь­ни­ки FDKи BCK равны.

Следовательно, их пло­ща­ди равны, то есть пло­щадь тра­пе­ции равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABF. Но из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков также вытекает, что FK = BK, то есть AK— ме­ди­а­на в тре­уголь­ни­ке ABF. Тогда треугольник KAB по пло­ща­ди со­ста­вит по­ло­ви­ну тре­уголь­ни­ка FAB, а значит, и дан­ной трапеции.

Пусть общая вер­ши­на квад­ра­тов — точка .  и . Следовательно, . Тогда тре­уголь­ни­ки и  равны по двум сто­ро­нам и углу между ними. Следовательно,  как со­от­вет­ству­ю­щие сто­ро­ны рав­ных треугольников.

Проведём FN параллельно BC (см. рис.). Тогда AD = AN = NB. Следовательно, па­рал­ле­ло­грамм BCFN является ромбом. Диа­го­наль CN ромба BCFN является бис­сек­три­сой угла BCD.

 — параллелограмм, по­это­му сто­ро­ны  и  равны. Углы  и  равны, как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых  и  и се­ку­щей  Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  они прямоугольные, их ги­по­те­ну­зы равны и угол  равен углу  сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки равны по ги­по­те­ну­зе и углу, значит, равны от­рез­ки  и   и  сле­до­ва­тель­но . Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны четырёхугольника  равны и параллельны, сле­до­ва­тель­но этот четырёхугольник — параллелограмм.