Упростим выражение:

График ис­ход­ной функ­ции сво­дит­ся к гра­фи­ку па­ра­бо­лы  с вы­ко­ло­той точ­кой  Этот гра­фик изображён на рисунке:

Из графика видно, что прямая  имеет с графиком одну общую точку, если  или 

Упростим вы­ра­же­ние для функции:

Таким образом, получили, что гра­фик нашей функ­ции сво­дит­ся к гра­фи­ку функ­ции  с вы­ко­ло­той точ­кой 

Построим гра­фик функ­ции (см. рисунок).

Заметим, что пря­мая  про­хо­дит через на­ча­ло ко­ор­ди­нат и будет иметь с гра­фи­ком функ­ции ровно одну общую точку толь­ко тогда, когда будет про­хо­дить через вы­ко­ло­тую точку  Под­ста­вим ко­ор­ди­на­ты этой точки в урав­не­ние пря­мой и найдём ко­эф­фи­ци­ент 

Одна из воз­мож­ных форм за­пи­си урав­не­ния па­ра­бо­лы в общем виде вы­гля­дит так:  Ко­ор­ди­на­та  вер­ши­ны па­ра­бо­лы на­хо­дит­ся по фор­му­ле  Ко­ор­ди­на­ту  вер­ши­ны па­ра­бо­лы найдётся под­ста­нов­кой  в урав­не­ние параболы. Таким образом, за­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию ко­эф­фи­ци­ен­тов  и  Под­ста­вив ко­ор­ди­на­ты точек, через ко­то­рые про­хо­дит парабола, в урав­не­ние па­ра­бо­лы и по­лу­чим си­сте­му из трёх уравнений:

Найдём ко­ор­ди­на­ты вершины:

График данной функции — это график параболы  отрицательная часть которого отражена относительно оси  Поскольку  искомую параболу получаем сдвигом графика  на вектор (−2; −2,25), затем отражаем. Полученный график изображён на рисунке.

Прямая, параллельная оси абсцисс, задаётся формулой  где  — постоянная. Из графика видно, что прямая  может иметь с графиком функции не более четырёх общих точек.

Графики функ­ций  и  будут иметь ровно одну общую точку, если урав­не­ние  будет иметь один корень. Дан­ное квад­рат­ное урав­не­ние имеет один корень, если дис­кри­ми­нант этого урав­не­ния равен нулю:

Следовательно, при  и  пря­мая  имеет ровно одну точку пе­ре­се­че­ния с па­ра­бо­лой  По­стро­им гра­фи­ки этих функций:

Раскрывая модули, получаем, что гра­фик функ­ции сов­па­да­ет с пря­мой  при , сов­па­да­ет с пря­мой при  и сов­па­да­ет с пря­мой  при .
График изоб­ра­жен на рисунке.

Прямая  имеет с гра­фи­ком дан­ной функ­ции ровно две общие точки при  и .

Построим гра­фик функ­ции  при  и гра­фик функ­ции  при 

Прямая  имеет с гра­фи­ком одну или две общие точки при  и при 

Упростим вы­ра­же­ние для функции:

Таким образом, получили, что гра­фик нашей функ­ции сво­дит­ся к гра­фи­ку функ­ции  с вы­ко­ло­той точ­кой 

Построим гра­фик функ­ции (см. рисунок).

Заметим, что пря­мая  про­хо­дит через на­ча­ло ко­ор­ди­нат и будет иметь с гра­фи­ком функ­ции ровно одну общую точку толь­ко тогда, когда будет про­хо­дить через вы­ко­ло­тую точку  Под­ста­вим ко­ор­ди­на­ты этой точки в урав­не­ние пря­мой и найдём ко­эф­фи­ци­ент 

Упростим вы­ра­же­ние для функции:

Таким образом, получили, что гра­фик нашей функ­ции сво­дит­ся к гра­фи­ку функ­ции  с вы­ко­ло­той точ­кой 

Построим гра­фик функ­ции (см. рисунок).

Заметим, что пря­мая  про­хо­дит через на­ча­ло ко­ор­ди­нат и будет иметь с гра­фи­ком функ­ции ровно одну общую точку толь­ко тогда, когда будет про­хо­дить через вы­ко­ло­тую точку  Под­ста­вим ко­ор­ди­на­ты этой точки в урав­не­ние пря­мой и найдём ко­эф­фи­ци­ент