Введём новую переменную z: z ≡ ¬x. При этом количество решений системы уравнений не изменится. Рассмотрим первое уравнение. Если первая скобка равна нулю, то значение второй скобки может быть как нулём так и единицей, то есть z2 и y2 могут быть любыми. Первая скобка обращается в нуль при z₁ = 0, y₁ = 0. Если первая скобка равна единице, то значение второй скобки также должно быть равно единице. Первая скобка равна единице при z₁ = 0, y₁ = 1; z₁ = 1, y₁ = 0; z₁ = 1, y₁ = 1. Вторая скобка равна единице при z₂ = 1; y₂ = 1. Аналогично решаются и остальные уравнения.

Будем записывать наборы переменных z и y в виде таблицы: наборы z сверху, наборы y снизу, например, в записи  z₁ = 0, z₂ = 0, z₃ = 0, z₄ = 1, z₅ = 1, z₆ = 1, z₇ = 1; y₁ = 0; y₂ = 0, y₃ = 1, y₄ = 1, y₅ = 1, y₆ = 1, y₇ = 1.

Заметим, что как только встречается поднабор z и y отличный от поднабора  все y и z справа от этого поднабора должны быть равны единице. Тогда получаем, что поднаборов вида  семь штук. Аналогично по семь и поднаборов вида  

Ещё один неучтённый набор решений:  Всего 7 · 3 + 1 = 22 решения.

Преобразуем первое и второе уравнения:

(x₂→x₁) ∧ (x₃→x₂) ∧ (x₄→x₃) ∧ (x₅→x₄) = 1

(y₁→y₂) ∧ (y₂→y₃) ∧ (y₃→y₄) ∧ (y₄→y₅) = 1

Заметим, что первое и второе уравнения не связаны между собой ни через какие переменные.

Рассмотрим первое уравнение. Для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо, чтобы каждая скобка была истинной. Импликация ложна только тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. 

Рассмотрим второе уравнение. Для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо, чтобы каждая скобка была истинной. 

Представим решения последнего уравнения в виде таблицы:

Случай А. Согласно деревьям решений получим 6 наборов решений для переменных x и 6 наборов переменных y, но x1 = 1 и y1 = 1, следовательно из набора решений для x подойдёт пять, а из набора решений для y — 1. Суммарное число наборов: 1 · 5 = 5.

Случай Б. Аналогично случаю А получим 5 наборов переменных x и 5 наборов переменных y, суммарное число наборов 5 · 5 = 25.

Случай В. Аналогично случаю А получим 1 набор переменных x и 1 набор переменных y, суммарное число наборов 1 · 1 = 1.

Таким образом, получаем 25 + 5 + 1 = 31 набор переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, при которых выполнена данная система равенств.

1) Из последнего уравнения следует, что глобально мы имеем x3=1, y3=1.

2) Логическое И истинно, только тогда, когда истины все утверждения, а импликация ложна только в случае, если из истинного следует ложное.

3) Уравнение (1) описывает ряд переменных {x1, x2, x3, x4, x5}. Так как из переменной с более низким номером всегда следует переменная с более высоким, если любую переменную из этого ряда приравнять 1, то все следующие должны также быть равны 1. Для уравнения (2) существует то же самое правило, только наоборот: из переменной с более высоким номером всегда следует переменная с более низким. Иначе говоря, если записать переменные x в порядке возрастания их номеров, справа будут единицы, а слева — нули, в y — напротив, слева единицы, справа - нули.

4) Рассмотрим вариант x3=1, y3=1. Тогда все следующие: x4, x5, y2, y1 тоже равны 1. Остаются переменные x1, x2, y4, y5. Так как x2 следует из x1, для них мы имеем 3 варианта, аналогично для y4 и y5. 33=9.

Ответ — 9.

Можно заметить, что ¬x2 ∨ ¬y2 (правая часть первого тождества) = ¬(x2 ∧ y2) (отрицание левой части второго неравенства) по закону Де Моргана. То есть значения выражений чередуются в каждой строчке. 0-1-0-1-0 или 1-0-1-0-1.

Пусть они чередуются 0-1-0-1-0. Тогда первая пара переменных может принимать три набора значений — (0, 0), (0, 1), (1, 0). Вторая пара только один набор — (1, 1). И дальше так же чередуется. Итого имеем  решений.

Пусть они чередуются 1-0-1-0-1. Тогда первая пара может принимать лишь один набор значений — (1, 1). Аналогично первому случаю количество здесь чередуется 1-3-1-3-1-3. Итого в этом случае имеем  решений.

Всего  решений.

Заметим, что первое и второе уравнения не связаны между собой ни через какие переменные.

Рассмотрим первое уравнение. Для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо, чтобы каждая скобка была истинной. Импликация ложна только тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Представим решение этого уравнения в виде дерева.

Рассмотрим второе уравнение. Чтобы равенство выполнялось, необходимо, чтобы каждая скобка была истинной. Дерево для решения этого уравнения будет выглядеть так:

Теперь рассмотрим третье уравнение. Конъюнкция истинна только, если все операнды истинны. Каждое уравнения вида ¬xN ∨ yN = 1 имеет три решения: 01, 00, 11. То есть для каждой пары xN, yN запрещены решения вида 10.

Будем представлять решения уравнений в виде набора нулей и единиц, например, решение x1 = 0, x2 = x3 =x4, = x5= x6 = 1 имеет вид 011 111. Заметим, что для первых двух уравнений в наборах решений после единицы могут стоять только единицы. То есть разрешены решения вида 001 111.

Также заметим, что если yN = 0, то xN обязательно равно единице.

Таким образом, получаем, что набору yN 111 111, могут соответствовать наборы xN: 111 111, 011 111, 001 111, 000 111, 000 011, 000 001, 000 000. Всего семь наборов.

Аналогично, набору yN 011 111 соответствует шесть наборов и так далее. Всего получаем:

перепишем уравнение, используя более простые обозначения операций:

((K + L) → (L · M · N)) = 0

1) из таблицы истинности операции «импликация» (см. первую задачу) следует, что это равенство верно тогда и только тогда, когда одновременно

K + L = 1 и L · M · N = 0

2) из первого уравнения следует, что хотя бы одна из переменных, K или L, равна 1 (или обе вместе); поэтому рассмотрим три случая

3) если K = 1 и L = 0, то второе равенство выполняется при любых М и N; поскольку существует 4 комбинации двух логических переменных (00, 01, 10 и 11), имеем 4 разных решения

4) если K = 1 и L = 1, то второе равенство выполняется при М · N = 0; существует 3 таких комбинации (00, 01 и 10), имеем еще 3 решения

5) если K = 0, то обязательно L = 1 (из первого уравнения); при этом второе равенство выполняется при М · N = 0; существует 3 таких комбинации (00, 01 и 10), имеем еще 3 решения

6) всего получаем 4 + 3 + 3 = 10 решений.

Из последнего уравнения находим, что возможны варианты значений x7 и y7: 10, 01, 00 . Построим древо вариантов для каждого из вариантов значений x7 и y7. Для пары значений 00:

Переменная y принимает значение 1 или 0 в точках y5, y3, y1. Поэтому количество различных наборов переменных x1, x2, … x7, y1, y2, … y7, удовлетворяющих системе равно 2³ = 8.

Для пары значений 01 древо решений аналогичное, поскольку y7 входит только в одно уравнение. Следовательно таке имеем восемь наборов решений.

Дерево вариантов для пары значений 10:

В первой ветке имеем восемь наборов решений. В первой «подветке» второй ветки (10 → 10 → ...) имеем 7 наборов решений. Во второй «подветке» второй ветки (10 → 00/01 → ...) имеем 14 наборов решений.

Всего имеем 8 + 8 + 8 + 21 = 45 наборов решений.

Запишем переменные в строчку: x₁x₂x₃x₄x₅x₆x₇. Импликация ложна только в том случае, когда из истины следует ложь. Условие не выполняется, если в ряду после одинаковых цифр присутствует другая цифра. Например, "11101..." что означает невыполнение второго условия.

Рассмотрим комбинации переменных, удовлетворяющие всем условиям. Выпишем варианты, при которых все цифры чередуются, таких два: 1010101 и 0101010. Теперь для первого варианта, начиная с конца, будем увеличивать количество повторяющихся подряд цифр(настолько, насколько это возможно). Выпишем полученные комбинации: "1010111; 1011111..." таких комбинаций восемь. Аналогично для второго варианта: "0101011; 0101111...". Учтём, что при подсчёте комбинация для второго варианта комбинации 0000000 и 1111111 были учтены дважды. Таким образом, получаем 8 + 8 − 2 = 14 решений.

Применим преобразование импликации:

¬(X•X - 1 > 100) ∨ (X•(X-1)< 100) => X•X - 1 < 100 ∨ (X•(X-1)< 100) =>

X•X < 101 ∨ (X•(X-1)< 100)

Если X•X < 101 = 1, то т. к.  чуть больше 10 (меньше чем на 1), ответ 10.

Если X•(X-1)< 100, то нам необходимо решить неравенство: X•X - X - 100 < 0.

Корни этого квадратного уравнения: 

Воспользовавшись методом интервалов, получаем, что наибольшее целое положительное число, удовлетворяющее неравенству, это 10.

В качестве ответа берем наибольшее из решений.

Построим древо решений для первого уравнения.

Первое уравнение имеет 12 решений. Второе уравнение связано с первым только через переменные x₃ и x₄. На основании древа решений для первого уравнения выпишем пары значений переменных x₃ и x₄, которые удовлетворяют первому уравнению и укажем количество таких пар значений.

Поскольку уравнения идентичны с точностью до индексов переменных, древо решений второго уравнения аналогично первому. Следовательно, пара значений x₃ = 1 и x₄ = 1 порождает два набора переменных x₃, ..., x₆, удовлетворяющих второму уравнению. Поскольку среди наборов решений первого уравнения данных пар четыре, всего получаем 4 · 2 = 8 наборов переменных x₁, ..., x₆, удовлетворяющих системе из двух уравнений. Рассуждая аналогично для пары значений x₃ = 0 и x₄ = 0, получаем 8 наборов переменных x₁, ..., x₆. Пара x₃ = 1 и x₄ = 0 порождает четыре решения второго уравнения. Поскольку среди наборов решений первого уравнения данных пар две, получаем 2 · 4 = 8 наборов переменных x₁, ..., x₆, удовлетворяющих системе из двух уравнений. Аналогично для x₃ = 0 и x₄ = 1 — 8 наборов решений. Всего система из двух уравнений имеет 8 + 8 + 8 + 8 = 32 решения.

Проведя аналогичные рассуждения для системы из трёх уравнений, получаем 80 наборов переменных x₁, ..., x₈, удовлетворяющих системе. для системы из четырёх уравнений существует 192 набора переменных x₁, ..., x₁₀, удовлетворяющих системе.