Представим числа 15 и 17 в виде сумм, так чтобы одно из слагаемых было как можно меньше, используя только числа от нуля до девяти: 15 = 6 + 9, 17 = 8 + 9. Чтобы построить наименьшее исходное число, нужно по возможности ставить большие числа в младших разрядах, а маленькие — в старших. Наименьшее число, удовлетворяющее условию: 1698.

Поскольку числа записаны в порядке возрастания, одна сумма цифр двух разрядов равна 11, другая — 15. Для того , чтобы число было наименьшим, необходимо, чтобы в старших разрядах находилась как можно меньшая цифра, следовательно сумма старших разрядов должна быть меньшей. При разложении 11 на слагаемые необходимо, чтобы одно из них было минимально возможным, поэтому представим 11 как сумму 2 и 9, это — первые две цифры искомого числа. Тода третья цифра 15 − 9 = 6. Следовательно, искомое число — 296.

Конечная точка будет обладать координатами по оси x и y. Эти координаты можно складывать независимо друг от друга.

Найдём значение x: 5 - 3 + 1 + 1 + 1 + 3 = 8.

Найдём значение y: 2 + 3 + 1 = 6.

Расстояние от начала координат находится по формуле: , поэтому

.

Обозначим через  количество команд «Вперед 7» в программе, а через  – количество команд «Назад 4», причём  и могут быть только неотрицательными целыми числами.

Для того, чтобы КУЗНЕЧИК попал в точку 43 из точки 10, должно выполняться условие:

Представим его в виде:

Из последнего уравнения видно, что левая часть должна делиться на 4.

Из всех решений нас интересует такое, при котором  – наименьшее возможное число.

Видно, что , иначе y .

Используем метод подбора:

Наименьшее число команд «Назад 4» .

Задачу можно решить, повторив все движения Робота на бумаге. Затем соединить начальную клетку и конечную клетку пути Робота, используя имеющиеся команды, и посчитать их количество.

Заметим, что пары команд «вверх-вниз» и «влево-вправо» дают нулевой эффект, то есть, не перемещают Робота, поэтому все такие пары можно выкинуть из программы, вдобавок, поскольку стенок нет, все равно где стоят парные команды в программе. Вычеркнув все пары, видим, что остались только команды вверх, вверх. Их две.

Умножение на число обратимо не для любого числа, поэтому, если мы пойдём от числа 16 к числу 2, тогда однозначно восстановим программу. Полученные команды будут записываться справа налево.

1) Число 16 не делится на 5, значит, оно получено прибавлением двойки к числу 16: 16 = 14 + 2 (команда 1).

Повторим рассуждение для чисел 14 и 12 (команда 1).

2) Т. к. мы хотим получить не более 4 команд, то для получения числа 10 выгодно использовать умножение:

10 = 5 · 2 (команда 2).

Тогда окончательно получаем ответ: 2111.

Умножение на число обратимо не для любого числа, поэтому, если мы пойдём от числа 33 к числу 6, тогда однозначно восстановим программу. Полученные команды будут записываться справа налево.

1) Число 33 не делится на 2, значит, оно получено прибавлением единицы к числу 32: 33 = 32 + 1 (команда 2).

2) Т. к. мы хотим получить не более 5 команд, то для получения числа 32 выгодно использовать умножение:

32 = 16 * 2 (команда 1).

Для числа 16 применяем второе рассуждение: 16 = 8 * 2 (команда 1).

Для числа 8 мы не можем повторить рассуждение 2), потому что проскочим нужное нам число 6. Следовательно, 8 = 7 + 1 (команда 2) и 7 = 6 + 1 (команда 2).

Умножение обратимо не для любого числа, поэтому пойдём от числа 63 к числу 3, полученную последовательность команд запишем справа налево.

63 − 1 = 62,

62/2 = 31,

31 − 1 = 30,

30/2 = 15,

15 − 1 = 14,

14/2 = 7,

7 − 1 = 6,

6/2 = 3.

Умножение на число обратимо не для любого числа, поэтому, если мы пойдём от числа 505 к числу 3, то однозначно восстановим программу. Полученные команды будут записываться справа налево. Если число некратно 5, то отнимаем 1, а если кратно, то делим на 5:

505/5 = 101 (команда 2);

101 − 1 = 100 (команда 1);

100/5 = 20 (команда 2);

20/5 = 4 (команда 2);

4 − 1 = 3 (команда 1).

Запишем последовательность команд в обратном порядке и получим ответ: 12212.

Будем решать задачу с конца, команды будем записывать от конца к началу.

1) Число 48 кратно 3, поскольку мы хотим получить не более 5 команд, выгодно использовать команду 2: 48 = 16 · 3 (команда 2).

2) Число 16 не кратно трём, следовательно, оно получено прибавлением числа 3: 16 = 13 + 3 (команда 1).

Повторяя второе рассуждение для чисел 13, 10, 7 и 4, мы не придём к числу 3, следовательно, необходимо закончить алгоритм (начать рассуждение) с команды 1. Поскольку число 45 = 48 − 3, кратно трём, воспользуемся командой 2. Из числа 15 можно получить число 5 командой 2, однако после этого никакими командами не будет возможно достичь числа 3, следовательно, выполним команду 1. Из тех же соображений для числа 12 также выполним команду 1. Из числа 9 число 3 получим с помощью команды 2.

Найденное преобразование: 3 → 9 → 12 → 15 → 45 → 48. Ответ: 21121.