Вопрос №1

1. На день рождения полагается дарить букет из нечётного числа цветов. Астры стоят 25 рублей за штуку. У Вани есть 170 рублей. Из какого наибольшего числа астр он может купить букет маме на день рождения?

Вопрос №2

2. В аэропорту чемоданы пассажиров поднимают в зал багажа по транспортёрной ленте. При проектировании транспортёра необходимо учитывать допустимую силу натяжения ленты транспортёра. На рисунке изображена зависимость натяжения ленты от угла наклона транспортёра к горизонту при расчётной нагрузке. На оси абсцисс откладывается угол подъёма в градусах, на оси ординат — сила натяжения транспортёрной ленты (в килограммах силы). При каком угле наклона сила натяжения достигает 160 кг? Ответ дайте в градусах.

Вопрос №3

3. В таблице даны тарифы на услуги трёх фирм такси. Предполагается поездка длительностью 80 минут. Нужно выбрать фирму, в которой такой заказ будет стоить дешевле всего. Сколько рублей будет стоить этот заказ?

Вопрос №4

4. Прямая а проходит через точки с координатами (0; 3) и (10; 0). Прямая b проходит через точку с координатами (0; 12) и параллельно прямой а. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью Ох (см. рис.).

Вопрос №5

5. При изготовлении подшипников диаметром 82 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм равна 0,972. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 81,99 мм, или больше, чем 82,01 мм. 

Вопрос №6

6. Найдите корень уравнения

Вопрос №7

7. В треугольнике ABC дано: АВ = ВС = 10, АС. = . Найдите sin A.

Вопрос №8

8. На рисунке изображён график у = f'(x) — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: xi,x2,... ,x₉. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(х)?

Вопрос №9

9. Цилиндр описан около шара. Объём шара равен 18. Найдите объём цилиндра.

Вопрос №10

10. Найдите значение выражения

Вопрос №11

11. В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет R₁ = 48 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление R₂ этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями R₁ Ом и R₂ Ом их общее сопротивление задаётся формулой

, а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 16 Ом. Ответ выразите в омах.

Вопрос №12

12. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с высотой SO =  и боковым ребром SA = 2 найдите сторону основания АВ.

Вопрос №13

13. Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 60 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью на 20 км/ч меньшей, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Вопрос №14

14. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке [0; 8].

Вопрос №15

15.

а) Решите уравнение 

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

 Сравните полученный вами ответ с ответом, указанным во вкладке "пояснение". Если ответ правильный, то введите знак "+" в поле ответа, еcли ответ неверный, то введите знак "-". 

Вопрос №16

16. В треугольной пирамиде FABC основанием является правильный треугольник ABC, ребро FB перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 6, а ребро FA равно 10. На ребре АС находится точка К, на ребре АВ — точка N, а на ребре AF — точка L. Известно, что FL = 4 и СК = BN = 2.

a) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки К, N и L.

б) Найдите площадь этого сечения.

Сравните полученный вами ответ с ответом, указанным во вкладке "пояснение". Если ответ правильный, то введите знак "+" в поле ответа, ели ответ неверный, то введите знак "-".

Вопрос №17

17. Решите систему уравнений 

Сравните полученный вами ответ с ответом, указанным во вкладке "пояснение". Если ответ правильный, то введите знак "+" в поле ответа, если ответ неверный, то введите знак "-". 

Вопрос №18

18. Диагонали АС и BD трапеции ABCD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке О, причём АО ∙ СО = BО ∙ DO.

а) Докажите, что средняя линия трапеции равна высоте.

б) Найдите боковую сторону трапеции, если радиус описанной вокруг трапеции окружности равен 3.

Сравните полученный вами ответ с ответом, указанным во вкладке "пояснение". Если ответ правильный, то введите знак "+" в поле ответа, если ответ неверный, то введите знак "-". 

Вопрос №19

19. Холдинг «Вертолёты России» планирует выпустить в первом квартале 20% годового плана, во втором — увеличить производство в 1,5 раза, в четвёртом выпустить 102 вертолёта. В третьем квартале, во время отпусков, как показывает статистика, выпускается половина от среднего арифметического количества выпускаемых вертолётов во втором и четвёртом кварталах. Какое количество вертолётов планируется выпустить холдингом в третьем квартале?

Сравните полученный вами ответ с ответом, указанным во вкладке "пояснение". Если ответ правильный, то введите знак "+" в поле ответа, если ответ неверный, то введите знак "-". 

Вопрос №20

20. Найдите все значения а, при которых любое решение уравнения 

принадлежит отрезку [-4; 0].

Сравните полученный вами ответ с ответом, указанным во вкладке "пояснение". Если ответ правильный, то введите знак "+" в поле ответа, если ответ неверный, то введите знак "-". 

Вопрос №21

21. 

а) Можно ли число 2015 представить в виде суммы трёх различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

б) Можно ли число 288 представить в виде суммы трёх различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы шести различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.

Сравните полученный вами ответ с ответом, указанным во вкладке "пояснение". Если ответ правильный, то введите знак "+" в поле ответа, если ответ неверный, то введите знак "-".